本论文主要研究代数编码的构造与译码相关问题,及编码理论在密码学中的应用。对于二元非对称错误信道,非对称即发送1接收0的概率远大于发送0接收1的概率,与经典编码理论(基于对称错误信道模型)相比,非对称错误给研究带来极大困难,然而这样的信道又普遍存在,比如光通讯等。本文基于代数曲线构造了一类二元非对称纠错码,取一些特殊的代数曲线,该构造给出的编码的参数在渐进意义下都要优于已有的结果。Reed-Solomon码是编码理论中最重要的编码之一,它的编码方式很简单,在工程中被广泛应用,所以它的译码问题吸引了大批数学家与计算机学家的兴趣。Cheng和Murray在2007年对于Reed-Solomon码的深洞进行研究,他们发现了一类深洞,并猜想奇特征有限域时对于扩展Reed-Solomon码(即赋值集合为D=Fq),这构成所有的深洞。之后洪绍方教授与他的博士生对于本原Reed-Solomon码使用Fourier变换以及循环码的知识发现了另一类深洞,但是他们的方法只能适用于这类特殊的Reed-Solomon码。本文通过很简单的方法对于一般的Reed-Solomon码发现了新的一类深洞,推广了洪教授他们的结果,Cheng等人最新的结果证明了在一些情形下只有这两类深洞。本文对于偶特征时,除了以上两类深洞外给出了新的一类深洞。另外,本文还研究扩展Reed-Solomon码的k+2次多项式定义的深洞,证明没有k+2次多项式定义的深洞,支持了Cheng和Murray最初的猜想。迭代译码是常见译码方法之一,迭代译码中最重要的两个概念是停止集及其分布,因为它们刻画了迭代译码的效率。对于一些经典的线性码,目前已知停止集分布的也相当的少。本文研究代数几何码的停止集及其分布。我们给出一般代数曲线构造的代数几何码的停止集两个描述：一是使用Riemann-Roch空间的代数描述,二是使用除子(divisor)的几何描述。这时发现存在一个区间(跟代数曲线的亏格有关),大小在这个区间外的停止集很容易得到,但是大小在这个区间内的停止集很难确定。对于最简单的代数几何码—广义Reed-Solomon码,此时不存在这个区间,所以它的停止集及其分布问题非常简单。其次考虑椭圆曲线码,它的停止集及其分布是非平凡的,并且本文用椭圆曲线的有理点群完全刻画出其停止集。这样,停止集及其分布、停止集距离问题都归结到椭圆曲线有理点群上的子集和问题,于是就证明了对于一般的椭圆曲线码,在随机多项式时间归约下计算它的停子集及其分布已经是NP困难问题。对于更高亏格的代数几何码,我们还没有太多结果,猜想它的停止集及其分布问题仍是NP困难问题。编码的极小距离完全刻画了这个纠错码的检错与纠错能力,所以希望构造出具有较大的极小距离的纠错码。对于有限域Fq上线性码[n, k, d], Singleton界告诉我们极小距离d不会超过n-k+1。当d=n-k+1时,称这个线性码为极大距离可分(MDS)码。著名的MDS猜想是说MDS码的码长n不会超过q+l(q为有限域Fq的大小),除了个别情况可以达到q+2。对于一般的线性码,这个猜想是一个纯组合问题,没有太多方法,极其困难。不少学者开始考虑一些特殊的线性码,特别地,代数几何码。对于椭圆曲线构造的代数几何码,利用椭圆曲线的几何性质,MDS猜想已经被证明。而对于高亏格的代数曲线构造的代数几何码,MDS猜想还没有完全被解决。本文对于椭圆曲线构造的代数几何码,利用Li和Wan的筛法,给出一个简单的组合的证明,并且如果对码的维数k做细微的限制,我们证明MDS码的码长n不会超过(2/3+∈)q,这个结果比MDS猜想要强很多。最后,论文给出编码理论在密码学中的一个简单的应用。基于线性码以及密钥分享的思想,我们对于经典多用户通讯构造了一个信息论意义下无条件安全的消息认证体制。