经典的Yang-Baxter方程是由杨振宁和R.Baxter分别在1967年和1972年独立提出的,其不仅在统计物理上极其重要,而且和辫群、扭结理论等数学分支密切相关.而Yang-Baxter矩阵方程AXA=XAX是经典Yang-Baxter方程在矩阵理论中的非参量情形.一般来说,Yang-Baxter矩阵方程有无穷多个解.从形式上看,Yang-Baxter矩阵方程非常简单,但它等价于求解有n2个未知量,n2个非线性方程的方程组,其二次非线性特征导致其求解问题十分复杂.即使在低阶的4 x 4矩阵情形,也只能找到某些具体特殊解.而系统研究Yang-Baxter矩阵方程的解还处于起步阶段,如何求出上述方程的所有非平凡解,是重要而具有挑战性的问题.Ding与Rhee首先对上述Yang-Baxter矩阵方程得到了一系列重要结果,如当A为非奇异的拟随机矩阵和其逆矩阵A-1为随机矩阵时,利用Brouwer不动点定理证明了方程解的存在性并利用平均遍历定理和直接迭代法给出了方程的数值解;利用矩阵解析理论中谱投影定理与广义特征子空间技巧构造了方程的谱解.Ding和Zhang则利用半单特征值研究了谱解的结构.当A为幂等矩阵时,Cibotarica,Ding,Kolibal和Rhee利用极小多项式和对角化技巧构造了方程的所有隐式解.Ding和Tian对一类初等矩阵,利用秩1矩阵的谱扰动结果研究了方程的所有解.Zhou和Chen等人对秩2且0为n-2重的半单特征值的矩阵讨论了一般解.由于求出Yang-Baxter方程的所有一般解的表达式是非常困难的,目前很多工作转而求方程的交换解.Ding,Zhang和Rhee对具有某些特殊Jordan型的非奇异矩阵给出了方程的交换解.利用矩阵A的Jordan型结构和著名的Sylvester方程解的唯一性定理,Dong和Ding给出了一类可对角化矩阵的交换解.Dong,Ding和Huang利用Jordan块技巧对幂零矩阵给出了 Yang-Baxter方程的所有交换解及研究了交换解的结构.Dong,Zhou和Chen等人分别利用特征向量和广义特征向量研究了交换解的表达式.利用一个简化的方程,Jordan型和Jordan块,Zhou和Ding对指标3的幂零矩阵找到了交换解.本文主要针对不同类型的矩阵A.研究了Yang-Baxter方程的交换解或一般解的求解与表达式问题.首先对幂等矩阵和斜幂等矩阵A,利用A的对角化和A仅两个不同特征值,我们给出了 Yang-Baxter矩阵方程一般解的显式表示.其次对逆矩阵A-1等于自身A或-A的矩阵A,利用Sylvester方程理论、相似矩阵和矩阵分块等技巧给出了交换解的充要条件,由此给出了交换解的表达式,在非对角矩阵块满秩给出了非交换解的表达式,以及在更一般的无任何附加条件情形下证明了非对角矩阵块的秩相等,由此也给出了非交换解的表达式.作为应用,给出了Household矩阵情形Yang-Baxter方程非交换解的一般表示.最后我们考察了更广泛的满足A3等于自身A或-A的矩阵A.利用极小多项式、谱分析技巧和谱扰动结果给出方程一般解的新的等价表达式.本文首次证明,对这一类Yang-Baxter矩阵方程,所有解可以划分为基于相似关系的等价类,即在每个等价类内,所有的解都是相似的.这个结果给求解Yang-Baxter矩阵方程提供了很大的便利,并可以对其它类型矩阵求解Yang-Baxter矩阵方程给出了新的思路.本文的主要结果推广和改进了前面提及的一些相关工作。