本文主要研究了平移不变子空间的结构与它们上面的采样定理.令V是一个子空间,如果其中平移算子Tk定义为（Tkf）（x）=f （x k）,那么我们称V是平移不变子空间.这里,我们感兴趣的平移不变子空间有三类:（i） L²（R^d）^r:=L²（R^d）×···×L2（R^d）中的平移不变子空间,（ii）由细分函数生成的平移不变子空间,（iii） Lp（Rd）中的平移不变子空间.第一章首先给出平移不变子空间和采样定理的理论背景与发展状况.然后,给出本文的一些主要结果.第二章研究了超级Hilbert空间L2Rd（r）中有限生成的平移不变子空间.我们不但给出这种平移不变子空间的刻画而且证明了这种平移不变子空间一定有一个紧框架.本章还给出了这种空间是单生成平移不变子空间的充分必要条件.上述结果是Hilbert空间L2Rd中平移不变子空间结果的推广.第三章首先提出细分向量函数向量稳定的概念.这种向量稳定和普通稳定的区别是:向量稳定是关于细分向量函数本身的稳定性,而普通稳定是关于细分向量函数各个分量的稳定性.接着,本章给出了细分向量函数是向量稳定的充分必要条件.最后,我们给出一个例子来说明向量稳定和普通稳定的区别.第四章给出了平移不变子空间在非整数平移后仍是平移不变的充分必要条件.我们研究了单生成平移不变子空间和有限生成平移不变子空间.本章的结果是已知结果的推广.第五章研究怎么用非一致采样值来重构样条函数.我们讨论了下面问题解的存在性和唯一性:给定数据{（xn,yn）: n∈Z}找一个给定阶数的cardinal样条函数f（x）使得yn=f （xn）,n∈Z.最后一章在线性正则变换下讨论Amrein-Berthier-Benedicks定性测不准原理和Donoho-Stark测不准原理.另外,我们对窗口线性正则变换进行了离散化并且给出了离散窗口线性正则变换是框架的必要条件和充分条件.