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自从L-smooth拓扑空间产生以来,有很多人从事这方面的研究,利用开度来研究拓扑的一些性质.但是,目前很少有人利用开度来研究分离度.本文的第一章主要研究L-smooth拓扑空间的分离度.
在第一节中,介绍了L-smooth拓扑空间的基本知识,定义了r-开邻域,讨论了r-开邻域与r-闭远域的关系.
定理1.1.1设(Lx,τ)为L-smooth拓扑空间,r∈L0,xλ∈M*(Lx),则A为xλ的r-闭远域当且仅当A’为xλ,的r-开邻域.
在第二节中,用r-开邻域定义了r-Ti(i=0,1,2,3,4)空间,讨论了它们之间的关系,研究了它们的性质.更为重要的是,定义了Ti(i=0,1,2,3,4)空间的分离度.用例子说明了Ti(i=0,1,2,3,4)空间的分离度是确实存在的.随后,研究了分离度的性质,例如:遗传性、同胚不变性、可乘性等.
定义1.2.6设ψ为所有L-smooth拓扑空间组成的集合,定义映射J:ψ→L为:()(Lx,τ)∈ψ,Ji((Lx,τ))=∨{r∈L0|(Lx,τ)为r-Ti空间},我们称Ji((Lx,τ))为(Lx,τ)的Ti分离度,其中i=0,1,2,3,4.
从第二章开始,利用连续值逻辑的语义学方法来研究拓扑.在第一节中,定义了由(X,J)诱导的双F-拓扑空间(X,w(J)),并讨论了它的性质.
定义2.1.5设(X,J)为不分明化拓扑空间.一元F-谓词w(J)∈F(F(X)),被定义为:w(J)(A)=a∈[0,1]infF(ξα(A))=r∈[0,1]inf]J(σr(A)).
定义2.1.6称w(J)为由J诱导的双F-拓扑,(X,w(J))为由(X,J)诱导的双F-拓扑空间.
定理2.1.5设(Y,J)为不分明化拓扑空间,X≠φ,f:X→Y为序同态,则|=()J∈T(Y)(f-1(w(J))←→w(f-1(J))),其中T(Y)为Y上所有不分明化拓扑之集.定理2.1.6设(X,J)为不分明化拓扑空间,f:X→Y为满序同态,则|=()J∈T(X)(w(J)/f←→w(J/f)),其中T(X)为X上所有不分明化拓扑之集.
在第二节中,定义了一元F-谓词Ti(i=-1,0,1,2,3,4)、Ri(i=0,1,2)、Ti*(i=3,4),给出了它们的特征刻画,讨论了它们的关系,研究了它们的性质.
定理2.2.6设(X,J)为双F-拓扑空间,则|-(X,J)∈T1←→()xλ∈X({xλ}∈F*).定理2.2.8设(X,J)为双F-拓扑空间,则|=(X,J)∈T2←→()xλ()yμ((xλ∈X)∧(yμ∈X)∧(x≠y)→()U()V((U∈Nxλ)∧(V∈Nyμ)∧((σλ∧μ(U)∩σλ∧μ(V))=φ))).
定理2.2.9设(X,J)为双F-拓扑空间,Y()X,Y≠φ.若(Y,J|Y)为子空间,则|=T2(X,J)→T2(Y,J|Y)(Ti(X,J)→Ti(Y,J|Y)(i=-1,0,1)).
定理2.2.14设(X,J)为不分明化拓扑空间,则|=T2(X,w(J))←→(X,J)(Ti(X,w(J))←→Ti(X,J)(i=-1,0,1)).
定理2.2.26|=(X,J)∈T3*∧(X,J)∈T1→(X,J)∈T2.
定理2.2.27|=(X,J)∈T4*∧(X,J)∈T1→(X,J)∈T3*.
通过本文的研究,一方面,我们丰富了Ti(i=0,1,2,3,4)分离性的知识;另一方面,我们对Ti(i=0,1,2,3,4)分离度有了新的认识,开阔了我们的视野.