忆阻器是一种集运算与存储为一体的新型无源二端非易失性电路元件,具有体积小（纳米级）、低功耗、延展性高、易于集成等优点,是模拟生物神经元突触的理想器件。近年来,基于忆阻器突触实现的新型人工神经网络发展迅速。相对于传统的神经网络电路,忆阻神经网络具有更快的计算速度和更强的数据存储能力,在联想记忆、神经形态计算、模式识别、类脑科学等方面有着更优异的表现。在神经网络的动力学特性中,神经网络的平衡点对应于外在激励下的神经网络的记忆,平衡点的个数对应于神经网络的记忆容量,平衡点的局部收敛速度对应于记忆的反应速度。神经网络的多稳定性能够有效增强神经网络信息存储能力。同时实验和理论分析表明,哺乳动物大脑不仅有多状态联想记忆的能力,并且具有通过选择性的感知注意力来实现振荡神经元同步的能力。具有多稳定性的神经网络在耦合下的同步被称为多同步。对忆阻神经网络的多稳定性和多同步的研究有利于深入了解人类的大脑,推动忆阻神经网络在神经形态计算、类脑科学领域的发展和应用。本论文主要针对几类时滞忆阻神经网络的多稳定性和多同步问题展开了研究,在Filippov右端不连续稳定性理论框架下通过微分包含和集值映射理论将右端不连续的时滞忆阻神经网络模型转变为一类凸闭区间的连续微分模型,并结合光滑分析理论、稳定性理论和一系列控制方法推导出了几类时滞忆阻神经网络的多稳定性和多同步判据,进一步充实了忆阻神经网络动力学研究成果。本论文主要内容概括如下:（1）研究了一类具有无界时变时滞的忆阻神经网络的多稳定性问题及其在脉冲耦合下的多同步问题。首先,为了扩展神经网络存储能力,结合了状态空间分割法、Brouwer不动点理论推导出了时滞忆阻神经网络在一类分段线性激活函数下多平衡态共存的充分条件。其次,针对神经网络中存在无界时变时滞造成系统不稳定的问题,在μ稳定理论下得到了具有无界时变时滞的忆阻神经网络的多稳定性判据。根据时滞上界的不同,系统可以实现指数稳定、幂稳定、对数稳定等多种不同收敛速率。随后,在多稳定性的基础之上,采用了脉冲控制和线性矩阵不等式等方法,在Lyapunov-Razumikhin理论下进一步推导出了具有无界时变时滞的忆阻神经网络的脉冲耦合多同步判据,使得系统在自身的耦合拓扑和不同的初始状态区间下可自发收敛于不同的同步流。此外,考虑到实际应用中可能存在的系统扰动和耦合系统的参数不匹配问题,构建了更符合实际的具有随机扰动和参数不匹配的时滞脉冲耦合忆阻神经网络模型,并给出了该系统模型的鲁棒多同步条件。（2）研究了一类具有时变时滞和分布时滞混合的的忆阻Cohen-Grossberg神经网络的多稳定性问题及其在连续线性耦合下的多同步问题。首先,针对任意连续激活函数下时滞忆阻CG神经网络的多稳定性问题,根据激活函数的几何结构,提出了具有混合时滞的忆阻CG神经网络的多稳定性判据。免除了激活函数为分段线性的限制条件,使得多稳定性的判据更具扩展和通用性。基于以上结论,进一步研究了在线性耦合下的具有混合时滞的忆阻CG神经网络的多同步问题。并分别在时滞可测且连续可微和时滞不可测两种情况下设计相应的同步控制器,针对性地构造了Lyapunov-Krasovskii泛函,利用反证法推导出了系统实现有限时间多同步的充分条件。（3）将整数阶时滞忆阻神经网络的多稳定性问题及多同步问题拓展至分数阶。考虑实际电路系统中电容的分数阶变化特性和复杂网络之间的非线性耦合关系,构建了一类分数阶非线性耦合时滞忆阻神经网络模型。该系统模型包含一个独立的主子网络和若干个与主子网络和其他子网络相互耦合的从子网络。首先,基于分数阶Halanay不等式、Caputo导数性质,分数阶微分包含理论,推导出了分数阶时滞忆阻神经网络的多稳定性判据。随后,基于网络的耦合结构,采用了牵引控制方法,给出了分数阶时滞耦合忆阻神经网络的牵引多同步条件。此外,针对实际网络系统带宽利用率低、网络信息传输压力大等问题,结合自适应控制和量化控制理论,为从子网设计了自适应量化控制器,并根据控制器量化参数构建了独特的Lyapunov泛函,实现了系统的自适应多同步。