【摘 要】
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图的着色理论在图论中占有重要地位。条件着色是近几年引入并进行研究的。设k>0,r>0,k,r∈Z,图G的一个（k,r）-着色是一个映射c:V（G）→C（k）={1,2,...,k},满足:（1）如果uv∈E（G）,那么c（u）≠c（v）,（2）对于任意v∈V（G）,|c（N（v））|≥min{r,dG（v）}。可以正常（k,r）-着色的最小k称为G的条件色数,记为Xr（G）。Xr,（G）的计算是一
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图的着色理论在图论中占有重要地位。条件着色是近几年引入并进行研究的。设k>0,r>0,k,r∈Z,图G的一个（k,r）-着色是一个映射c:V（G）→C（k）={1,2,,k},满足:（1）如果uv∈E（G）,那么c（u）≠c（v）,（2）对于任意v∈V（G）,|c（N（v））|≥min{r,dG（v）}。可以正常（k,r）-着色的最小k称为G的条件色数,记为Xr（G）。Xr,（G）的计算是一个NP问题。Lai Hongjian等讨论了X2（G）以及Xr（G）并给出了图的条件着色的一个上界Xr（G）≤△~2+1。林越则改进了这个上界,证明了Xr（G）≤r△+1（当r<△时这个上界更好）。王军华给出了猜想:除Petersen图外,任意△（G）≥3的图G都有X3（G）≤△（G）+5。本文主要讨论三正则图G的条件色数X3（G）。首先通过图的结构证明了若G的阶数为10,则X3（G）≤8。然后证明了若G存在两个相邻的4长圈,G的连通度为1或者2等情形下,X3（G）≤8成立。最后对广义Petersen图P（n,t）进行了深入的探究,得到广义Petersen图的3-条件色数的上界,证明了除Petersen图之外的所有广义Petersen图都满足X3（G）≤8;并证明了当n（?）0（mod4）,（4,t）=1时,X3（p（n,t））=4;当n（?）0（mod5）且t（?）±1（mod5）时,4≤X3（p（n,t））≤5。
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