【摘 要】
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本文研究某些子流形几何和特征值问题,内容分为四个部分.第一部分研究局部对称空间中极小子流形的刚性定理Yau S T在文献[1]中研究了常曲率空间中的紧致极小子流形,得到了一个与SimonS不等式类似的结果.本文考虑了局部对称黎曼流形的极小子流形某些刚性定理,通过对于任意实数a的取值,得到了关于第二基本形式模长平方,截面曲率的一些不等式,将Yau文献中的结果推广到了局部对称空间中.证明了如下定理2.
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本文研究某些子流形几何和特征值问题,内容分为四个部分.第一部分研究局部对称空间中极小子流形的刚性定理Yau S T在文献[1]中研究了常曲率空间中的紧致极小子流形,得到了一个与SimonS不等式类似的结果.本文考虑了局部对称黎曼流形的极小子流形某些刚性定理,通过对于任意实数a的取值,得到了关于第二基本形式模长平方,截面曲率的一些不等式,将Yau文献中的结果推广到了局部对称空间中.证明了如下定理2.1设Nn+p是截面曲率KN满足0<δ≤KN≤1的n+p维局部对称黎曼流形,M”是Nn+p中的紧致极小子流形,s是Mn的第二基本形式长度的平方.设k是M”上的函数,对任意一点x∈Mn,k（x）是该点沿任意二维截面曲率的下确界.如果对于任意实数有则Mn的第二基本形式是共变常数,且Mn是局部对称的全测地子流形,否则特别地,我们令a=1,得到如下推论推论在定理1的条件下,若s满足则Mn的第二基本形式是共变常数,且Mn是局部对称的全测地子流形,否则注当δ=1时,Nn+p是截面曲率为1的常曲率空间,此时恰是文献[1]在c=1时的情形.定理2.2在定理1的条件下,令a=（p-1）/p,则若Mn的截面曲率RM满足（i）若s=0,M”是局部对称的全测地子流形,否则其中k是截面曲率RM的下确界.第二部分研究anti-de Sitter空间H1n+1（-1）中的半平行超曲面的分类及anti-de Sitter空间H1n+1（-1）中的高阶平行超曲面与平行超曲面的等价性F.Dillen在文献[6]中给出了欧式空间中的半平行超曲面的分类,从中我们知道,在欧氏空间中Vkh=0和Vh=0是不等价的,那么对于非欧氏常曲率空间Nn+1（c）,张廷枋在文献[23]中给出了▽kh=0和Vh=0的等价性及非欧氏常曲率空间Nn+1（c）（n>2）中的半平行超曲面的分类定理.我们将其推广到anti-de Sitter空间H1n+1（-1）中,获得如下定理3.1设M”是anti-de Sitter空间H1n+1（-1）的类空超曲面,若n>2,且M”是半平行的,则M”是下列超曲面之一的开部分（ⅰ）H1n+1（-1）的全脐超曲面；（ⅱ）H1n+1（-1）中两个常曲率子流形的乘积；（ⅲ）H1n+1（-]）中n-1维全脐子流形Mn-1（v）沿着与之正交的轨迹运动的轨迹,这里v表示正交轨迹的弧长参数,且Mn-1（v）的n-1重主曲率λ沿着Mn-1（v）是常数,若适当选取初始参数,主曲率λ有其中λ0=λ（v0）为初始常数.利用上面的分类定理,我们证明了下面的高阶平行超曲面与平行超曲面的等价性定理.定理3.2设M”是anti-de Sitter空间H1n+1（-1）（n>2）的类空超曲面,则▽kh=0和▽h=0等价.第三部分研究带Dirichle边条件的Schrodinger算子和Laplace算子的特征值问题.得到了该两问题用其前k个特征值来估计第（k+1）个特征值λk+,的不等式.建立如下定理4.1设Ω是单位球面Sn（1）上的有界连通域,n为边界（?）Ω上的外法向量场,且是带Dirichle边条件的Schrodinger算子问题的特征值,其中W是Sn（1）上的连续函数.则有定理4.2设Ω是n维欧式空间Rn的一个有界连通域,n为边界aQ上的法向量场,且0<λ1≤λ2≤…≤λk≤是l阶Laplace算子的Dirichle问题的特征值.则有当l=1时,有此时即为文献[21]得到的结果,本文恰是对其所在高阶上的推广第四部分研究非负Ricci曲率紧致带边黎曼流形的刚性,得到了非空边界上第一特征值估计.本文利用Reilly公式改进了有关作者的结果,建立如下定理5.1设Ω是（n+1）维Ricci曲率下界为k≥0的紧致带边黎曼流形,非空边界M=（?）Ω上有Q的诱导度量,假设M的主曲率≥c>0,则其中当k=0时,即是文献[10]的结论λ1（M）≥nc2
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