本文考虑的图均为有限、简单、无向图，对于任意一个图G，的顶点集合，阶(顶点数)，边集合，边数，最大度，最小度，围长，直径和面集，分别用V(G)，∣G∣，E(G)，∣E∣，△(G)，δ(G)，g(G)，d(G)和F(G)来表示.在不引起混淆的情况下，我们把△(G)，δ(G)，g(G)，d(G)简记为△，δ，g和d.　　 图G的一个正常k-顶点染色是指k种颜色在V(G)上的一种分配，使得任意两个相邻的顶点分配以不同颜色.若图G有一个正常k-顶点染色，就称G是k-顶点可染色的.图G的点色数是指使G有正常k-顶点染色的数k的最小值，用x(G)表示.　　 设φ是图G的一个正常的顶点染色，若φ的任何两种不同颜色所染的顶点数目至多相差1，称φ是G的一个均匀染色.如果φ足图G的一个均匀k-顶点染色，称φ是G的一个均匀k-染色.图G可进行均匀k-染色的最小整数七称为G的均匀色数.记为xe(G).　　 现在已经有了很多关于图的均匀染色的结论，比较著名的是Hajnal和Szemerédi得到的这个结果：　　 Hajnal-Szemerédi定理：给定一个正整数r，如果一个图G最大度不超过r，那么这个图G存在一个均匀(r+1)-染色.　　 关于均匀染色理论，有以下两个猜想.　　 猜想1：设G是一个连通图.如果G既不是完全图，奇圈又不是完全二部图K2m+1，2m+1，△(G)=△，那么G存在均匀△-染色.　　 猜想2：设r≥3，如果对于图G的任一条边xy，都有d(x)+d(y)≤2r，并且G不能均匀r-染色，那么G一定含有kr+1或者km，2r-m.(m为奇数)　　 本文所得到的第一个结论是证明了猜想2在一种特殊情况下是成立的.　　 定理2.1当r>3时，在图G中只有一对邻点va，vb满足d(va)+d(vb)=2r，其余各对邻点的度数之和都小于2r，那么图G可以均匀r-染色.　　 在本文中，我们还定义了一种新的染色-树染色.图G的(t，k，d)-树染色是指把图G的点集分解为V1，V2，…，Vt，即用t中颜色对图G的顶点进行染色，使得对每个Vi，(1≤j≤t)，它的导出子图G[Vi]的任何一个分支都是直径至多为K，最大度至多为d的树，(k≥0，d≥0).图G存在(t，k，d)-树染色的最小的t称之为G的(k，d)-树色数，记为Xk，d(G).　　 图的均匀(t，k，d)-树染色是指G存在一个(t，k，d)-树染色，v1，v2，…，vt是各个颜色的顶点集合，并且对于任意的i和j(1≤i≤j≤t)，都有｜｜vi｜-｜vj｜｜≤1.图G存在均匀(t，k，d)-树染色的最小的t我们称之为G的均匀(k，d)-树色数，记为Xk，d=(G).　　 图的全均匀(t，k，d)-树染色是指对所有的t≥t，G都存在一个均匀(t，k，d)-树染色，图的全均匀(k，d)-树色数记为Xk，d≡(G).若k=+∞，d=+∞，我们就把(t，k，d)-树染色称为t-树染色，把均匀(t，k，d)-树染色称为均匀t-树染色.最小的t-树染色称为点荫度，均匀t-树染色中最小的t称之为均匀点荫度，记为va=(G)，全均匀点荫度记为va≡(G).　　 针对均匀树染色，主要得到了下面的两个结论：　　 定理3.1设G为-平面图且围长≥5.则全均匀点荫度va≡(G)≤3.　　 定理3.2设G为一平面图且围长≥6.若G为森林，则全均匀点荫度va≡(G)=1；否则全均匀点荫度va≡(G)=2.