带偏微分方程(PDE)约束优化问题的数值求解是应用数学领域中重要而具有挑战性的问题之一,其在现代工业、医学、经济学等应用领域都具有很重要的应用.对传统的带L2-控制成本的PDE约束优化问题,理论和数值解法都取得了丰富的研究成果.而对于带L1-控制成本的PDE约束优化问题,研究成果还不多.与有限维l1-正则化一样,L1-控制成本具有诱导稀疏的特性,因此该类问题在控制装置的布放问题以及材料和机械装置的拓扑优化等领域有重要应用.鉴于有限维稀疏优化在交替方向类算法上和应用上的成功,我们尝试研究了带L1-控制成本的PDE约束优化问题的交替方向类算法,并取得如下研究成果:1.带L1-控制成本的稀疏最优控制问题的FE-ihADMM算法.若用常规的分片线性有限元对连续问题进行离散,不同于有限维的l1-范数,离散的L1-范数不具有可分结构,甚至不能通过引进人工变量转化成具有可分结构的问题,因此不适合用有限维交替方向乘子法(ADMM)求解.我们提出了一种具有可分结构的有限元离散格式,尽管该离散格式会带来额外的离散误差,但我们给出的误差估计表明该离散格式仍具有与常规离散格式一样的误差阶O(h).进一步,我们给出了求解新的离散问题的一种不精确异构ADMM(ihADMM)算法.不同于经典的ADMM算法,ihADMM算法中的两个子问题的增广Lagrange项分别采用不同的质量矩阵加权.我们证明了 ihADMM算法的全局收敛性以及o(1/k)的迭代复杂度.此外,为了得到更高精度的解,我们提出了一种两阶段策略,其中将ihADMM算法作为第一阶段的算法,而在第二阶段,我们将原对偶积极集方法(PDAS)作为ihADMM算法的一个后处理器.数值实验的结果表明,ihADMM算法比经典的ADMM算法和不精确加速邻近点梯度算法(iAPG)有更高的效率,而两阶段算法比带线搜索的PDAS效率更高.2.针对带L2-控制成本的最优控制问题,我们提出了一种“ADMM-FE-优化”的策略.具体地,我们首先在函数空间意义下给出求解带控制约束的最优控制问题的一种ADMM算法,然后再利用“先离散,再优化”的途径来求解ADMM算法中的子问题.该策略的优势是ADMM算法中两个子问题可以采用不同的离散方式以有效地求解两个子问题.进一步,我们证明了离散化的ADMM与求解带L2-控制成本的最优控制问题的ihADMM算法是相同的.数值实验的结果表明,ihADMM算法应用到带L2-控制成本的最优控制问题,同样比经典的ADMM算法和线性化ADMM.(LADMM)算法高效.这说明ihADMM算法不仅是求解带L1-控制成本的稀疏最优控制问题的有效方法,也是求解更传统和普遍实用的L2-控制成本的最优控制问题的有效方法.3.带L1-控制成本的稀疏最优控制问题的FE-sGS-imABCD算法.为避免具有可分结构的离散格式带来的额外离散误差,我们从带L1-控制成本的最优控制问题的对偶问题出发,提出了一种基于不精确高斯赛德尔分解技巧的majorized加速块坐标下降(sGS-imABCD)算法来求解相应的离散对偶问题,并给出了该算法关于对偶目标函数的O(1/k2)的迭代复杂度.进一步,基于离散对偶问题的结构,我们给出了L1-范数的一种新的近似离散形式.同样我们给出了该离散格式的有限元误差估计.需要强调的,从近似L1-范数的收敛阶上看,我们证明了新的近似L1-范数的离散形式逼近L1-范数的收敛阶要比具有可分结构的离散形式高一阶.通过与ihADMM算法和iAPG算法比较,数值试验的结果表明无论是从有限元误差结果上,还是从算法的迭代步数以及CPU时间上,从对偶问题出发并利用sGS-imABCD算法求解都是非常高效的.4.sGS-mABCD算法的收敛性和网格独立性.基于带L1-控制成本的稀疏最优控制问题的对偶问题目标函数的性质,我们证明了对偶问题的目标函数满足一种局部二阶增长条件.归功于这样的结论,我们进一步证明了对偶变量迭代序列的0(1/k)的迭代复杂度.接着,对于离散对偶问题的原问题,我们证明了原问题目标函数迭代序列的O(1/k)的迭代复杂度以及控制变量迭代序列的O(1/√k)的迭代复杂度.此外,基于这些收敛性结论,我们给出了sGS-mABCD算法的两种类型的网格独立性结论.数值实验结果显示了 sGS-mABCD算法的迭代步数几乎与网格大小是无关的,这从数值上证实了 sGS-mABCD算法的网格独立性.