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量子反铁磁系统的相变与临界性质是凝聚态物理中重要的研究领域。随着该领域研究的进一步发展，Wilson于70年代发展了重正化群方法，使相变研究有了突破性的进展。正是由于研究方法上的发展，分形上量子自旋模型的相变问题引起了人们的研究兴趣，成为统计物理学研究中重要的前沿领域。本文利用重正化群方法，研究了三种分形晶格上反铁磁Heisenberg系统的相变与临界性质。论文的主要结果如下：
1.研究了分形维数df=1.63的低维钻石型等级晶格上自旋1/2的各向异性反铁磁Heisenberg模型的相变与临界性质，得到了系统的相图。结果发现相图中呈现重入现象，并且临界温度在各向异性参数△达到临界值△c=0.703时趋向于零。在Ising极限下，铁磁和反铁磁系统具有相同的约化临界温度KBT/｜J｜。另外，临界温度趋于零时，模型的铁磁临界温度Tc～△，反铁磁奈尔温度TN～1/In(△c-△)。
2.文中所采用的等级晶格都是由P个分支和L根棒的生成元迭代而成，其特殊性在于L可以是偶数或奇数。为了解决L为偶数的问题，人们用等效变换和重正化群方法相结合，巧妙地研究了分形晶格上经典的反铁磁Potts模型的相图和临界性质。本文将这一方法扩展到量子模型，分别计算了分形维数为2和2.58的两种钻石型等级晶格上各向异性反铁磁Heisenberg系统的相图。结果表明，在各向同性Heisenberg极限下(△=0)，对于df=2的等级晶格，系统的临界温度趋近于零，而对于df=2.58的等级晶格，系统存在有限温度的相变。另外，在Ising极限下，两种晶格上的铁磁和反铁磁系统具有相同的约化临界温度。对于df=2的等级晶格，本文还计算了临界温度趋于零时，反铁磁系统的临界行为。结果表明，系统的奈尔温度满足TN～1/In｜△c-△｜(df=2时求得的△c=0)。
3.研究了钻石型等级晶格上量子涨落对相变的影响。对于df=1.63的等级晶格，求解了由量子涨落引起的临界温度的误差EKF和EKAF(分别对应于铁磁和反铁磁系统)。对于df=2.58的等级晶格上的铁磁Heisenberg系统，求解了临界温度和各向异性的误差EK和E△。进而求得了各自的误差分析图，发现在高温极限下，误差都趋近于零，表明高温下模型趋于经典的Ising模型。另外，对于同一个系统而言，随着各向异性参数△的减小，误差增大；并且铁磁系统的误差小于反铁磁系统。