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样条函数,就是具有一定光滑性的分片或分段定义的函数。样条函数在飞机、船舶制造中有重要应用,己经成为计算机辅助几何设计(CAGD),计算机辅助设计及制造(CAD/CAM)等领域中不可缺少的工具,同时又是散乱数据插值和拟合中重要且常用的方法之一,在小波及有限元等领域中均有较为重要的应用。另一方面,随着多元样条理论的发展,人们发现它与基础数学的一些学科,如抽象代数、代数几何、微分方程等,亦有着千丝万缕的联系。
样条函数在许多领域得到了广泛的应用,尤其是它与小波分析的紧密联系使之应用到了小波。样条小波就是基于样条的小波。人们对于一元和二元样条做了深入广泛的研究,我们可以从[31]找到有关小波基的结果。然而,在样条函数的研究中将样条从2D空间推广到高维空间包括3D,有一些本质上的变化,所以有关高维的非乘积型样条的研究非常少。虽然已经有一些关于高维样条的研究[27,25,31-41],比如单纯形样条[25]和Box样条[32],但大多都不便于直接应用,从而大大限制了样条函数的应用。在许多领域都要用到高维样条如大规模科学计算,小波分析和三维可视化等,所以研究高维空间中的样条是必要的,尤其是非均匀剖分上的样条函数。
本文的工作就是围绕非均匀剖分上的B-样条展开的。文章共分为五章。第一章综述了样条函数的研究,分别介绍了王仁宏先生提出的光滑余因子协调法,B-样条法和B网方法以及其一些重要结果;第二章主要讨论了二维非均匀Ⅱ-型三角剖分上的样条函数;第三章分析了在三元Box样条方面所作的工作,着重介绍了三维非均匀剖分上B-样条的构造及其性质;在第四章中,我们应用积分方法构造了三维空间中的S<2><,4>和S<1><,3>B-样条,并分析了三维空间中的Ⅲ-型剖分;最后,我们在第五章对本文所作的工作作了简要的总结,并提出了对未来工作的展望。