在过去几十年中,临界非线性方程和方程组解的存在性与多解性,在天体物理、共形几何、非线性光学以及量子力学等不同领域都有着非常广泛的应用。因此,关于临界非线性方程和方程组解的存在性与多解性问题的研究,是非线性分析领域研究的热点问题之一,很多数学家在这个领域进行了深入研究。本文根据Lyapunov-Schmidt约化理论、椭圆理论和变分理论,研究一类临界非线性方程和方程组解的存在性与多解性问题。具体研究的问题是：1.具有临界指数的多重调和算子方程解的多解性；2.多重调和算子Yamabe型方程解的多解性；3.非合作临界薛定谔方程组解的多解性；4.临界拟线性薛定谔方程组解的存在性。首先,我们研究具有临界指数的多重调和算子方程解的多解性。假设方程中的非自治项K在局部存在一个正的极大值,我们利用Lyapunov-Schmidt约化理论,以任意充分大的正整数k∈N作为控制参数,构造k个正的非径向波峰解,其对称中心随k的增加而发散至无穷。然后,通过对k个正波峰解进行粘合与扰动,证明了多重调和算子临界方程无穷多个非径向正解的存在性。其次,我们研究多重调和算子Yamabe型方程解的多解性。我们利用Lyapunov-Schmidt约化理论,以任意充分大的正整数k∈N作为控制参数,构造k个非径向负波峰解,其对称中心随k的增加而凝聚在单位圆周内侧。通过对这k个非径向负波峰解和另1个径向正波峰解的粘合与扰动,证明了多重调和算子、mabe型方程存在无穷多个非径向变号解。再次,我们研究非合作临界薛定谔方程组解的多解性。对于任意的负耦合系数β<0,我们利用耦合项的超线性增长条件,在R3中建立了一系列奇性估计,并将不动点理论、Lyapunov-Schmidt约化理论与奇性估计结合起来,证明了非合作临界薛定谔方程组无穷多个非径向正解的存在性。最后,我们研究临界拟线性薛定谔方程组解的存在性。我们通过椭圆理论中极值原理思想与变分理论中集中紧性思想的结合,证明了临界拟线性薛定谔方程组的解是非平凡的。然后由Schauder估计和Moser迭代思想,证明了临界拟线性薛定谔方程组的非平凡解是正基态解。