自上个世纪八十年代以来,三维模型编辑领域发生了两次大的技术突破。第一次突破发生在八十年代,称之为自由变形(Free-form Deformation)技术,以操纵代理模型为手段来进行模型编辑。第二次突破发生在九十年代,称之为多分辨率编辑(Multi-resolution Editing)技术,以操纵简化模型为手段来进行网格编辑。这两次技术突破为三维几何建模提供了强大动力,尤其是发展相当成熟的自由变形技术已经成为商业造型软件不可或缺的组成部分。 然而,随着三维扫描技术的快速进步,几何模型的精度和数据复杂程度达到了新的高度,这些三维模型包含着十分丰富的几何细节,在精确刻画局部几何特征的同时也为模型的编辑处理提出了新的挑战——几何细节在编辑过程中难以有效保持。针对具有丰富几何细节的三维扫描数据,我们和国内外其他同行一道,提出了新的几何表示方法和计算模型来迎接挑战,我们将这些算法统称为微分域方法。比之于前两次技术突破,微分域方法的优势主要体现在几何编辑过程中细节特征的有效保持方面,因此该技术特别适合于编辑三维扫描数据。目前,尽管微分域方法仍在进一步的深化研究之中,但一些国外学者已经将其视为三维模型编辑领域中的第三次技术突破,而本文的工作正是这次新突破中的主要组成部分之一。 不同于传统方法,本文提出的微分网格处理技术不再将三维几何模型视为欧氏空间中的连续或离散点集,而是将其视为定义在三维域网格上的标量场。相应地,几何处理算法从空间点集或其控制点集的直接坐标操纵转化为间接的微分属性操纵。我们承认直接操纵顶点的空间坐标简单易行且具有几何直观性,但是与微分属性相比,顶点坐标缺乏刻画局部几何特征的能力。正是这一点导致了基于直接坐标操纵的传统编辑算法在编辑过程中难以做到几何细节特征的有效保持,而保持几何细节恰好是微分:处理算法的优势所在。 我们的网格处理框架以离散流形上的泊松方程为理论基础,将用户编辑操作映射为对定义在域网格上的梯度场的操纵以及对边界条件的修改。最终的编辑结果则通过泊松方程重建得到。之所以采用梯度场操纵加泊松重建的编辑框架,主要基于如下的两点考虑:其一,梯度作为微分属性可以方便地进行局部修改,而随后的重建过程可使得局部的梯度修改产生全局的编辑效果,通常传统方法要做到这一点需要进行大量的人工交互。其二,由于基于最小二乘优化的重建过程具有均匀分布逼近误差的特点,使得梯度局部调整产生的瑕疵能被有效地扩散到整个几何模型上,从而产生高质量的处理结果。这两点直接导致了微分网格处理技术能够以较少的交互操作来产生高质量的编辑结果。 在微分网格处理框架下,我们给出了一系列具体的应用算法,包括网格变形、网格融合、网格光顺和网格形状插值。这些算法的共性问题是如何将用户的编辑意图有效地转换成对梯度场的操纵以及对边界条件的修改。与同类其它算法相比,这些应用算法在编辑结果的质量上都有着质的提升。例如,在相同的用户交互下,以三维扫描数据为编辑对象,采用我们提出的泊松网格变形算法和网格融合算法生成的编辑结果都要显著优于采用商业造型软件MayaTM中的自由变形工具WIRE所生成的相应结果,这一点已经得到wIREI具的设计者Karan Singh的认可。此外,采用泊松形状插值算法生成的过渡序列由于能够正确地表达模型之间