本文回顾了悬臂梁自由振动以及杆的稳定性问题的研究背景与意义,探讨了在重力作用下悬臂梁自由振动以及杆的稳定问题的计算方法,并分别进行了算例分析,与已有文献做了对比,进一步验证了本文方法的可靠性、收敛性。本文共分成了六部分:　　 第一部分回顾了梁的自由振动、杆的稳定性问题研究的背景和意义,介绍了变截面梁以及杆的研究进展,以及本文的主要内容。　　 第二部分介绍了常见的几种梁的模型。　　 第三部分主要介绍了在重力作用下的Rayleigh悬臂梁的自由振动。提出了一种通过转化为积分方程来确定自然频率的方法。当幂级数的项数取足够多时,该方法可以达到任意想要的精度。数值算例分析了重力载荷对自然频率及振型的影响。　　 第四部分主要介绍了端部有质点重物的悬臂梁的自由振动。重点是基于积分方程方法分析了端部重物质量对悬臂梁自由频率的影响,尤其给出了高精度的基频的近似表达式。讨论了轴向拉力或压力、横截面惯性矩及端部重物对悬臂梁自然频率的影响。　　 第五部分主要研究承受轴向分布倚载的变截面杆的稳定性问题。基于积分方程方法将杆的稳定性相关变系数的控制方程转化为线性方程组,给出了计算临界屈曲载荷的封闭公式。　　 第六部分是全文的总结与展望。简单介绍了本文的结论以及对后续研究工作的展望。