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真实的动力系统几乎都含有各种各样的非线性因素,而且大部分工程问题可以用多自由度非线性系统来描述。由于非线性微分方程尚无普遍有效的精确求解方法,人们常用近似解析方法求解非线性问题。但是,现有的近似解析方法很难应用于实际工程中的复杂非线性系统。因此,结合一些工程实际中有典型意义的多自由度非线性动力学模型,发展应用于多自由度非线性系统的近似求解方法,具有重要的理论和实际意义。本文旨在发展应用于多自由度非线性系统的近似解析方法,并用这些方法研究工程实际中典型多自由度非线性系统的动力学特性,通过与数值结果对比说明了理论分析结果的正确性。主要研究内容和创新成果包括以下几个方面: ⑴通过引入一个新的设解形式提出了一种改进的渐近摄动法,并用该方法求解了三个典型的非线性系统,包括Duffing系统、含平方和立方项非线性项系统、耦合van der Pol系统。通过与其它方法和数值结果对比表明,改进的渐近摄动法是求解非线性系统的有效方法。与其它近似解析方法相比较,该方法具有求解过程相对简单、适用范围更广、不需要依赖其它方法等优点。 ⑵运用改进的渐近摄动法研究了含平方项和立方项的两自由度非线性系统在1∶3和1∶2内共振情况下的非线性动力学行为。已有渐近摄动法很难选择适当的设解形式,尤其是对1∶3内共振情况,很容易因为设解不当导致精度很低。为了检验方法的有效性,分别在平均方程和原方程的基础上作出了系统的幅频响应曲线和分叉图。利用Routh-Hurwitz准则,对1∶2内共振情况下的定常解进行了稳定性分析。对比表明,改进的渐近摄动法得到的结果与直接从运动方程得到的数值结果非常吻合。同时还分析了平方项系数、立方项系数以及外激励幅值等参数对系统非线性动力学特性的影响。 ⑶在两种不同尺度变换方法的基础上,利用改进的渐近摄动法研究了两自由度非线性系统在1∶1内共振情况下的非线性动力学行为,分析了尺度变换对渐近摄动分析结果的影响。与数值结果对比表明,第一种尺度变换过程更简单并且结果更准确。 ⑷把椭圆函数多尺度法推广到了多自由度非线性系统,并用该方法求出了具有三次强非线性项的两自由度耦合van der Pol振子的近似解析解,通过与数值解比较发现椭圆函数多尺度法是求解两自由度耦合van der Pol振子的有效方法。在系统参数满足一定条件的情况下,对应用于耦合van der Pol振子的椭圆函数多尺度法进行了改进。 ⑸通过求解耦合van der Pol振子的周期解,对增量谐波平衡法应用过程中的两个关键问题进行了讨论,即如何快速计算系数矩阵以及如何选取适当的初始解。对于前一个问题,我们利用三角函数的正交性将计算系数矩阵过程中的积分运算转化为代数运算,从而大大提高了增量谐波平衡法的计算速度。对于初始解的选取,我们从相应派生线性系统的解出发,通过逐步增大参数求得非线性系统的解。算例表明,上述方法对于求强非线性耦合van der Pol振子的周期解是非常有效的。