几何总是在构建物理理论和解决物理问题时扮演着关键角色。譬如,量子力学中的几何相位极大地扩展了我们对自然界中几何属性的理解。其中最著名的例子就是贝里相位,它是通过系统的量子绝热演化自然产生的。拓扑除其自身独有的抽象数学结构外,还能帮我们理解自然界中的奇异现象。在量子理论中,拓扑最早源于规范理论,并伴随着诸如阿哈罗诺夫-玻姆效应、磁单极子等新现象而出现。众所周知,爱因斯坦对几何化大统一理论的构造失败了。尽管如此,我们仍可从中得到启发。比如,我们可从几何与拓扑的角度出发,通过研究量子引力的某些空间特征来为解决量子力学和广义相对论之间的矛盾铺平道路。目前,人们尚未证实磁单极子的存在,也无法在实验室中对普朗克尺度下的量子引力现象进行观测。于是,通过量子模拟的方式对这些现象开展辅助研究就显得十分必要。超导量子比特作为一种宏观的固态人工原子比特,具有易加工、易调控、易扩展等自然原子比特所不具备的优势。因此,它可作为进行量子模拟的有效物理系统。本文使用超导transmon量子比特对参量空间中的磁单极子以及微超空间中的类引力波进行了量子模拟,并从几何角度(贝里曲率)与拓扑角度(第一陈数)对其进行了分析。本文主要内容如下:第一章,除介绍本文所涉及的微分几何学与拓扑学相关的数学知识外,还介绍了几何、拓扑以及物理之间的联系。简要概括了本文的研究重点与章节安排。第二章,介绍了几种常见的超导量子比特。通过一维传输线理论引出超导传输线的量子化。接着以超导transmon量子比特为例介绍了电路量子电动力学系统。然后介绍了超导量子比特的退相干机制。最后介绍了使用超导量子比特进行量子模拟的现状。第三章,我们利用超导transmon量子比特对参量空间中的阿贝尔吴-杨磁单极子进行了模拟,并通过贝里曲率和第一陈数对其进行了分析。我们发现可通过移动系统哈密顿参量空间中的简并点来对系统量子态的演化进行控制,这为量子态调控提供了一种新方式。除此之外,我们还发现,伴随着参量空间中的拓扑跃变,量子态的翻转不仅是非对称的,而且其相应的保真度还会出现波动。第四章,我们使用路径积分法与半经典近似法对量子引力中的几何及拓扑结构进行了研究。由第三章中提到的量子态保真度的波动现象,我们建立了希尔伯特空间中由量子态保真度表征的涟漪和微超空间中类引力波之间的联系。这为使用真实的量子系统对量子引力中的几何与拓扑性质的研究开辟了一条新途径。最后,我们给出了全文的总结与展望。