【摘 要】
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有限体积元方法是数值求解偏微分方程的一类重要的数值工具.由于该方法易于执行、剖分灵活,并且能够自然保持主要物理守恒律,它越来越受到研究者的重视.本文主要研究了流体力学中几类波动方程的有限体积元方法.针对不同的问题构造了相应的有限体积元格式,进一步对微分方程进行了数值研究.首先考察带延迟项的双曲偏微分-差分方程.对该方程设计了有限体积元格式及迎风有限体积元格式,并给出迎风有限体积元格式的L2误差估计
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有限体积元方法是数值求解偏微分方程的一类重要的数值工具.由于该方法易于执行、剖分灵活,并且能够自然保持主要物理守恒律,它越来越受到研究者的重视.本文主要研究了流体力学中几类波动方程的有限体积元方法.针对不同的问题构造了相应的有限体积元格式,进一步对微分方程进行了数值研究.首先考察带延迟项的双曲偏微分-差分方程.对该方程设计了有限体积元格式及迎风有限体积元格式,并给出迎风有限体积元格式的L2误差估计.数值试验验证了格式的有效性及收敛性.其次研究带有随机效应的衰减改进Boussinesq方程.对于随机衰减改进Boussinesq方程,空间方向用二次Lagrange函数逼近,时间方向用三阶强稳定格式近似,随机项用蒙特卡罗方法离散,构造了全离散的有限体积元格式.利用得到的格式,数值研究了随机效应对系统质量及孤立波振幅的影响.接下来讨论定义在球面上的二维准地转方程.对于全球准地转方程提出了Fourier有限体积元方法.纬度方向用一次多项式近似,经度方向用Fourier基逼近,时间方向用蛙跳格式离散,建立了Fourier有限体积元格式.数值结果表明该格式具有二阶收敛,能够保持能量和涡度拟能守恒,而且能克服极点问题.最后研究了基于无导数优化算法的空气质量最优控制问题.应用特征有限差分方法数值求解描述污染物运动发展的空气污染模型,以排放污染物的工厂位置为决策变量,定义相关的目标函数,对所构造的极小化问题使用无导数优化进行求解.一系列的数值试验表明,无导数算法能够对我们构造的问题进行求解,经优化过的工厂位置能够以较低的成本,满足空气质量指标.
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