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约束矩阵方程问题在系统识别、结构设计、自动控制理论、振动理论、线性最优控制、有限元等领域中有着非常广泛的应用。研究约束矩阵方程的解有关秩的问题，对于丰富约束矩阵方程理论有着重要的意义。
本篇硕士论文研究的问题如下：
问题Ⅰ给定A，B∈Rm×n，记：
(1)求M，m及S0中元素的表达形式。
(2)给定X*∈Rm×n，求X∈S0，使得
问题Ⅱ给定A∈Rp×n，B∈Rn×q，C∈Rp×q，记：
求M，m及Sm中元素的表达形式。
问题Ⅲ给定矩阵A∈Rm×n，B∈Rm×p,C∈Rm×m，记：
求集合SI中元素X，Y的最大秩和最小秩。
问题Ⅳ给定矩阵A∈Cn×m，B∈Cn×l，C∈Cm×l，记：
求m及Smf中元素的表达形式．
主要研究成果如下：
(1)对于问题Ⅰ，主要利用矩阵对的奇异值分解、矩阵分块及秩的有关理论等得到了矩阵方程AX=B的反中心对称解的最小秩、最大秩，及最小秩解的一般表达式。
(2)对于问题Ⅱ，利用矩阵的奇异值分解、商奇异值分解及相关秩的有关理论等得到SE中元素的最大、最小秩、Sm中元素的一般表达式及其最佳逼近。
(3)利用矩阵的广义奇异值分解及秩的相关结论，得到了问题Ⅲ以及问题Ⅳ的解。