【摘 要】
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一直以来,描述多组分Bose-Einstein凝聚态之间相互作用以及多个物种竞争的非线性偏微分方程组中,解的空间渐近行为-共存或消亡,都是微分方程界研究的热点话题.近年来,人们对强竞争导致的解的相分离现象表现出极大地兴趣.在竞争参数趋于正无穷的奇异极限问题中,解的支集相互分离,因而极限问题是一个自由边界问题.许多著名数学家包括沃尔夫奖获得者美国数学家Caffarelli,我国著名数学家林芳华,澳大
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一直以来,描述多组分Bose-Einstein凝聚态之间相互作用以及多个物种竞争的非线性偏微分方程组中,解的空间渐近行为-共存或消亡,都是微分方程界研究的热点话题.近年来,人们对强竞争导致的解的相分离现象表现出极大地兴趣.在竞争参数趋于正无穷的奇异极限问题中,解的支集相互分离,因而极限问题是一个自由边界问题.许多著名数学家包括沃尔夫奖获得者美国数学家Caffarelli,我国著名数学家林芳华,澳大利亚科学院院士 Dancer以及意大利著名数学家Terracini等对此类问题进行了大量的研究.特别地,已经得到如下的结果:系统解对竞争参数的一致界估计,奇异极限的正则性和自由边界的正则性.关于这类问题的研究促进了偏微分方程理论的发展,其研究成果对相应的物理和生物学现象又起到了指导性作用.本文围绕强竞争参数的变化,对两类不同背景的非线性偏微分方程组解的渐近行为进行系统的研究,具体内容由以下四章构成.第一章,介绍与本文研究问题相关的背景及发展概括.第二章,我们研究了一个非线性抛物系统解的渐近性质,沿用Terracini等的blow-up方法,证明了系统解关于竞争参数的一致Lipschitz界估计.第三章,我们研究了自由边界奇性集的进一步性质,通过建立奇性极限对应的Weiss型和Monnean型单调公式,刻画了奇性集的可求长的性质,这些改进了之前已有的结果.在第四章,我们研究了一类具有分数次扩散的强耦合椭圆系统.我们首先证明了解关于竞争参数的一致H?lder界估计;接着我们研究了两种群时自由边界的性质:自由边界的Hausdorff维数不超过n-1,且正则部分是光滑的超曲面,奇异部分满足Almgren型分层定理.
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