本文分两部分。在第一部分中，讨论了调和映射的推广F-调和映射的一些性质。在第二部分中研究了高维带边黎曼流形上的Ricci流. 设F：[0，+∞)→[0，+∞)是C2函数且在(0，+∞)上F’＞0，对于黎曼流形(M，g)，(N，h)之间的光滑映射φ：M→N,Ara[1]引进了F-能量的定义：EF(φ)=∫MF(｜dφ｜2/2)*1.F-调和映射φ就是F-能量泛函的的临界点；当F(t)=t，[(2t)p/2]/p，et时分别就是通常的调和映射，P-调和映射和指数调和映射。通过计算F-能量泛函的第一变分，Ara得到了命题1.1.1[Ara1]：φ：M→N是F-调和映射当且仅当τF(φ)=0其中τF(φ)=-d*(F’(｜dφ｜2/2)dφ)称为F-张力场在文[Ara1]中还得到了F-能量泛函的第二变分，李锦堂把它改写成以下形式引理1.1.1[李]：设φ：M→N是F-调和映射，则第二变分可写成I(φ*V,φ*V)=∫M{F″(｜dφ｜2/2)〈(-▽)φ*V,dφ〉2-〈(-▽)ei(dφV),(-▽)eiF′(｜dφ｜2/2)dφV〉}+∫MF′(｜dφ｜2/2)〈-2(-▽)ei(dφ(▽eiV)+dφ(▽ei▽eiV)-φ*RicMV,φ*V〉=P+Q其中V∈Γ(φ-1TN)，(-▽)为Γ(φ-1TN)上的联络。 若对于任何V∈Γ(φ-1TN)，都有I(V,V)≥0，则称F-调和映射φ是稳定的；否则称φ为不稳定的。利用上面的引理我们得到定理1.1.1：设Mn→Rn+p是一紧致无边子流形，若存在负常数B使得2〈h(ei，ek)，h(ei，ej)〉-〈h(ei，ei)，h(ek，ej)〉≤Bδjk其中h(ei，ek)为第二基本形式，且F″≤0，则从Mn到任何黎曼流形N的稳定F-调和映射必为常值映射。 类似调和映射Ara在[Ara1]中定义了F-能量泛函的应力能量张量SF(φ)=F(｜dφ｜2/2))·g-F′(｜dφ｜2/2)·φ*h我们得到下面两个重要公式1.若向量场X具有紧致集∫M(divSF(φ))(X)+∫M〈▽X，SF(φ)〉=0(2)2.若(e)D是M中的超曲面∫(e)DF(｜dφ｜2/2)〈X，n〉=∫(e)DF′(|dφ|2/2)〈φ*X,φ*n〉+∫D〈▽X，SF(φ)〉+∫D(divSF(φ))(X)(3)利用以上公式我们证明了下面的定理：定理1.2.1：设M是完备.单连通具有非正截面曲率的m维Riemann流形，它截面曲率的变化不大(具体范围见证明).设φ是从M到任何Riemann流形的F-调和跌射，F满足：xF″(x)≤(CF+1)F(x)，其中CF=inf{C≥0|F′(x)/tC非增加}如果φ的F-能量慢发散(定义见证明)，那么φ必为常值映射。 定理1.2.2：设φ：M→N是F-调和映射，F满足：xF′(x)≤(CF+1)F(x)那么，对任何x∈B1/2(x0)和0＜σ≤ρ≤1/2有下列单调不等式eCΛσσ2(CF+1)-m∫Bσ(x)F(｜dφ｜2/2)*1≤eCΛρρ2(CF+1)-m∫Bρ(x)F(｜dφ｜2/2)*1其中C是只依赖于M的常数，Λ是依赖于B1(x0)中截面曲率的上下界的常数。 利用文[Ara2]中得到的F-调和映射的Bochner公式，本文得到了定理1.3.1：设M是完备非紧的Riemman流形，它的Ricci曲率非负，设N是具有非正截面曲率的Riemman流形.φ：M→N是F-能量有限的F-调和映射，如果F满足：xF′(x)≤(CF+1)F(x)和F′(x)+2xF″(x)≥CF+1，且|▽dφ|≤C|dφ|，C为正常数那么，φ一定是常值映射。 定义Cφ={x∈M|dφx=0}M*：=M-Cφ在点x处的垂直空间为：Vx=ker{dφx}∈TxM；点x处的水平空间为Hx=Vx⊥φ称为水平共形的，如果存在函数λ：M*→R+使得λ2g(X，Y)=h(dφ(X)，dφ(X))对所有X.Y∈Vx⊥和x∈M*成立。当F-调和映射满足水平共行条件时，我们有以下定理定理1.4.1：M是紧致连通的黎曼流形，N是一黎曼流形，其上存在一个严格下调和函数f，△f＞0若F：[0-∞]→[0-∞]是严格增加C2的函数那么，任何从M到N水平共形的F-调和映射φ必定是常值映射。 定理1.4.2：假设M是完备非紧黎曼流形，N是一黎曼流形，其上存在一个严格下调和函数f，△f＞0如果∫M(F′(｜dφ｜2/2)|dφ|)2＜∞且E(f)＜∞或∫MF′(｜dφ｜2/2)|dφ|＜∞且f有界，则任何从M到N水平共形的F-调和映射φ必定是常值映射。 Ricci流的研究始于Hamilton的1982年的文章[Ha1]。在这篇文章Hamilton不仅引入了Ricci流这个概念，并且证明了具有正Ricci曲率的闭3-流形上一定存在着常正曲率度量。接着，在另外一篇非常重要的文章[Ha2]中，Hamilton不进一步利用Ricci流的方法证明了任何有着正曲率算子的闭4-流形是拓扑的S4或RP4。对于维数n≥4的黎曼流形，huisken证明如果初始的度量的正曲率算子加上足够强的拼挤条件，也能够得到类似的结果，见[Hu1]。而Margerin在[Ma]中也独立的证明了类似的结果，并且他的拼挤条件条件要比[Hu1]弱。 在1996年，Shen在[Shen]中考虑带边三维流形上的黎曼度量的Ricci形变，证明了如果初始三维流形的黎曼度量具有正Ricci曲率和全测地边界，则此三维黎曼流形上存在着常正曲率的黎曼度量。我们利用Margerin的方法把Shen的结果推广为高维情形。 假设Mn是一n维(n≥4)的光滑紧致的黎曼流形。为了方便起见，本文中指标范围约定如下1≤i，j，k…≤n；1≤α，β，γ，…≤n-1.假设(e)M≠φ，令g={gij}是M上的黎曼度量。用Rc={Rij}和R分别表示M的Ricci曲率和数量曲率。同样令h={hαβ}为(e)M的第二基本形式。黎曼曲率张量Rm={Rijkl}可以分解为三个正交部分且每个部分与Rm有相同的对称性：Rm=W+V+U，(1.1.1)其中W={Wijkl}是Weyl共形曲率张量，V={Vijkl}，U={Uijkl}分别表示无迹的Ricci部分和数量曲率部分。 定义：对于任意常数λ，若hαβ=λgαβ，(1.1.2)在(e)M恒成立，则称(e)M是全脐的.若常数λ=0，则称(e)M是全测地的。文献[Shen]证明了如下定理和推论。 定理[Shen]：对于任意给定的黎曼流形(M，g0)，则方程{(e)/(e)tgij=-2Rij，x∈M,gij(x，0)=g0(x)，x∈M，(1.1.3)hαβ=λgαβ，x∈(e)M，存在短时间解。 推论[Shen]：假设(M，g)是一具有正Ricci曲率和全测地边界的紧致三维黎曼流形，则(M，g)通过Ricci流可以形变为(M，g∞)使得(M，g∞)具有常正曲率和全测地边界。 在本文中用Ricci流的方法研究n维(n≥4)的紧致带边流形，得到类似与文[Shen]的结果。 定义：C(n)-pinched曲率是指R＞0且|(~R)m|2＜C(n)R2(1.1.4)其中R和(~R)m分别表示数量曲率和零数量曲率张量(具体定义见下文)。定理2.1.1假设n≥4，任何具有C(n)-pinched曲率和全测地边界的光滑紧致n维黎曼流形(M，g)，在Ricci流下可形变为(M，g∞)使得(M，g∞)具有常正曲率和全测地边界。其中C(n)=r/n(n-1)(n-2)，r=1/2，n≥6，r=6/25，n=5r=48/125，n=4，(1.1.5)。