很多应用领域,高振荡积分问题是一个非常重要的研究课题,比如在量子化学、图象分析、电动力学、正电子发射型断层扫描术、单光子发射型断层扫描术、流体力学等问题的计算中,其核心就是研究高振荡积分的高效计算方法。然而,当振荡频率远远超过积分结点的数目时,经典积分方法对应用广泛的高振荡积分,例如傅立叶(Fourier)变换、贝塞尔(Bessel)变换等问题的数值计算将失去效用。因此,本文把求解高振荡积分的新型、高效数值算法作为研究目的。第一章简述了高振荡函数的定义及常见形式;然后列举了高振荡积分的一些应用及现有的一些高效算法,比如Filon方法、Filon型方法、Levin方法、Levin型方法、渐近法、广义积分方法以及数值最速下降法。第二章通过使用多重高频率Fourier积分的表达式,针对不规则振荡因子的高振荡函数积分,提出了一个新型有效的参数方法。如果g(x)有驻点,通过一个简单的代换,驻点可以被忽略掉。方法的有效性通过具体的算例进行了测试。第三章利用Bessel函数的渐近公式,将Bessel变换转化成Fourier变换,再结合Huybrechs等提出的数值最速下降法,对Bessel变换给出了一个高效高阶算法。第四章运用Bessel函数的递进关系式(?),结合分部积分法,给出了一个简单、新型高效的渐近方法,即Bessel函数渐近法。第五章应用同伦扰动方法讨论Bessel函数积分。将积分问题转化成求解微分方程问题,利用扰动技术,将方程的解写成序列形式(?),通过构造一个简单的同伦,得到所有的序列项,即方程的解为u=(?)。第六章主要讨论向量值高振荡积分问题。在同伦扰动方法的基础上,得到了高振荡函数向量值同伦扰动数值积分方法,并对方法的误差进行了分析,获得方法和Levin迭代方法在初值为常数的情况下是一致的。