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1978年，Feigenbaum首先发现在倍周期分叉传递到混沌的过程中具有惊人的数量普适现象(即所谓的Feigenbaum现象)，进而他提出利用重正化群方法来解释这一现象.迄今，整个理论完全建立在Feigenbaum对某类函数空间的若干几何假设上，其中一个基本而关键的假设是关于重正化算子存在不动点，即相应的函数方程g(x)=-1/λg2(-λx)，(λ∈(0，1)待定)，g(0)=1，-1≤g(x)≤1，(x∈[-1，1]).存在解的假设.之后这二十多年，有关Feigenbaum现象的研究倍受世人瞩目.时至今日，包括物理、化学、生物、生态以及数学的各个分支在内的众多领域的科学工作者已在这方面取得了丰硕的研究成果，使我们不仅知道了Feigenbaum函数方程存在解、存在什么样的解，而且清楚了如何具体构作其连续的、可微的乃至光滑的解，还了解到解的一些动力性态.
为了更好的解释Feigenbaum现象，探索普适机理，1984年，Eckmann，Epstein和Wittwer考虑了广泛意义下的Feigenbaum函数方程{f(x)=1/λfp(λx),(|λ|∈(0,1)待定),f(0)=1,-1≤f(x)≤1,(x∈[-1,1]).(1)
并指出当p充分大时，上述方程的解近似于二次方程f(x)=1-2x2.廖公夫又提出如下的方程{f(x)=1/λfp(λx),(λ∈(0,1)待定),f(0)=1,0≤f(x)≤1,(x∈[0,1]).
并指出它与方程(1)所发挥的作用相同，且这两个方程的解之间有非常直接的联系.还给出了构造方程(1)的可微偶单峰解的一可行方法.本文进一步证明了p阶Feigenbaum映射的非单谷连续解的存在性，并给出了构作它的一种可行方法.
动力系统的一个很有趣的主题是它的拟极限集.拟极限集的概念是在1985年由Milnor给出的：
设M为光滑紧致流形(可以带边)，f∶M→M为连续映射.f的拟极限集Λ=Λ(f)意指f在M中满足如下条件的最小的不变闭子集：对几乎Lebesgue所有的x∈M，ω(x，f)()Λ.
在Milnor定义的吸引子意义下，拟极限集是系统惟一的极大吸引子，它集中了几乎全部点的渐进性态，因此研究这类子集很有意义.
1997年，廖公夫、黄桂丰和何伯和研究了一类无穷多峰Feigenbaum映射的拟极限集，估计了它们的Hausdorff维数，并证明了对于0,1之间的任意一个小数s，都存在区间上的连续映射，使其有一个以s为Hausdorff维数的拟极限集.由于p=2时的Feigenbaum映射的单谷扩充连续解只有2的方幂周期点，于是其拓扑熵必为零且不是Li-Yorke混沌的.又李天岩、J.Yorke指出周期3蕴含混沌.另外LouisBlock还给出了映射f具有非2方幂周期的充要条件是f有一条非简单的2的方幂周期轨.于是我们自然会问，对p≥3，p阶Feigenbaum映射的拟极限集会是怎样的一种状态呢?本文将给出具体回答，主要考虑p=3和4的情形.以下我们简称单位区间上的p阶Feigenbaum映射为F-映射.
本文先是概述了F-映射研究的历史与现状，给出了F-映射的一些性质，构造性证明了非单谷的F-映射的存在性，之后从Hausdorff维数和Hausdorff测度两方面考察了3阶和4阶F-映射的具有分形结构的拟极限集，最后对4阶F-映射给出了共轭分类——Ⅰ型和Ⅱ型.