粗纤维化结构,无穷远处粗嵌入与高指标问题

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粗几何是非交换几何中的重要研究课题,其主要研究度量空间的大尺度结构.粗几何中的核心问题是粗Baum–Connes猜测,其在几何拓扑,几何群论中有很多重要应用,如Novikov猜测,Borel猜测,Gromov零谱猜测等.本文中,我们主要研究空间的粗纤维化结构,无穷远处粗嵌入与高指标问题.最近,邓金涛,王勤和郁国樑引入了“A-by-CE”群扩张结构,并证明了如果一列群扩张具有有界几何性质和“A-by-CE”结构,那么粗Baum–Connes猜测对扩张群的粗不交并空间成立.他们的结果蕴含了粗Baum–Connes猜测对很多相对膨胀图成立.另外,他们提出了如下问题:如果一列群扩张具有有界几何性质和“CE-by-CE”结构,那么扩张群的粗不交并空间的粗Baum–Connes猜测是否成立?在本文中,我们部分回答了该问题,我们证明了该列扩张群的粗不交并空间的粗Novikov猜测成立.在第三章,我们引入“A-by-CE”粗纤维化结构,并研究了具有“A-by-CE”粗纤维化结构的有界几何度量空间上的高指标问题.我们证明了具有“A-by-CE”粗纤维化结构的有界几何度量空间上的Roe代数和极大Roe代数具有相同的K-理论.作为推论,我们证明了如果有界几何度量空间具有“A-by-CE”粗纤维化结构,那么该空间的(极大)粗Baum–Connes猜测成立.在第四章,我们引入了概念——无穷远处粗嵌入Hilbert空间,并引入了无穷远处粗嵌入的障碍——无穷远处的膨胀图.最后,我们证明了对于一列具有有界几何性质的有限图,如果存在能粗嵌入Hilbert空间的渐近忠实的Galois覆盖,那么粗Novikov猜测对该列有限图的粗不交并空间成立.由此结果可知,对于可粗嵌入Hilbert空间的有限生成,剩余有限群,该群的盒子空间的粗Novikov猜测成立,以及一列具有有界几何和large girth性质的有限图的粗Novikov猜测成立.
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