随着线性系统理论的日臻完善和应用的日趋成熟,控制理论学界逐渐将越来越多的精力转移到非线性系统理论和应用的研究上来。本论文将围绕非线性系统中的一个理论问题,按照提出问题、发展工具、解决实际问题的路线展开。众所周知,非线性系统理论的一个基本问题是稳定性分析,因为完备的稳定性分析往往是保障各类应用的基本前提。不同于线性系统,尽管经过了几十年的发展,非线性系统稳定性分析的手段依然以提出于19世纪的李雅普诺夫函数法为事实上的标准。简而言之,只需求取一个标量李亚普诺函数使得它随着系统的运行按照一定的速率减小,就可以获得系统平衡点的稳定性特征。通常,稳定性分析都不加说明地指平衡点的稳定性分析。虽然大多数稳定性分析问题都能归结于此类,但近20年来,越来越多的证据表明,需要发展一种下述意义下的‘‘稳定性理论”—即本文的主题,收缩分析—它保证系统的任意两个解都能以某种速率收敛到一起。这种所谓的‘‘增量稳定性’’可见于许多重要的应用场合,包括观测器设计、同步和轨迹跟踪等。考虑到这些实际问题的重要性,该领域逐渐吸引了不少控制学者的注意,无论是基础理论还是应用研究都得到了很大的发展。不过,至于用来什么方法来进行收缩分析,学术界尚无统一意见,换言之,还不存在像李雅普诺夫函数法那样通用而又行之有效的分析方法。特别是,对于一类本文着重关注的系统,即流形上的系统,收缩分析的手段还十分缺乏。流形上的系统包括诸如建模于特殊正交群的姿态系统、非欧氏构型空间上的拉格朗日系统和密度矩阵描述的量子控制系统等。这类系统的控制、观测问题很多都不能转化为欧氏空间中的问题。因此,本文针对这一类系统提出了一套几何的收缩分析方法。目的是为收缩系统提供更深刻的认识、提供几何的收缩分析工具并展示如何使用这些工具。本文的主要研究内容包括:（1）引入微分几何中完全提升的概念,建立收缩分析的基本工具。该工具使得我们可以不必在局部坐标系下完成收缩分析。此外,所提出的工具揭示了收缩系统的几何特征,阐明了收缩分析与稳定性的对应关系。（2）证明了芬斯勒-李雅普诺夫函数对收缩分析至关重要:它扮演着如同李雅普诺夫函数在稳定性分析中的角色。特别是,在文中证明了收缩系统一定存在芬斯勒-李雅普诺夫函数,这验证了芬斯勒-李雅普诺夫函数的确是收缩的正确量度。（3）提供了收缩系统的一些新的见解。首先,证明收缩系统可以由切丛的一个管型邻域完全刻画,这放松了（1）中的要求。其次,建立收缩与李雅普诺夫稳定性之间的关系,这通过所谓的Krasovskii定理完成。具体来说,证明了可以由收缩的信息,直接构造出系统的李雅普诺夫函数,前者是切丛上的量而后者是基流形上的量。（4）研究了流形上非平凡解的局部指数稳定性。解释了局部指数稳定性和收缩的密切联系,证明了两者在某种意义的等价性。因此可以作为收缩分析的候选方法,并且在一些场合,这种分析方法更方便使用。作为例子,研究了拉格朗日系统观测器设计、同步问题。（5）在前文的基础上,研究了收缩系统的鲁棒性质。这通过将收缩问题转化为横截稳定性问题。证明了系统在具有一定的双曲特性时,鲁棒性可以由完全提升系统的指数稳定性保证。