本文中,我们研究了若干解析数论中的重要问题:Dirichlet除数问题余项的七次积分均值估计,带有同余条件的除数问题的余项的四次积分均值估计,混合幂的Waring-Goldbach问题,以及稀疏集合上的Waring-Goldbach问题.本文共分为四章,各章节的内容安排如下:在第一章中,我们介绍了以上几个问题的研究背景,发展历史,以及当前结果.同时,我们给出了相应的改进结论.在第二章中,我们研究Dirichlet除数问题余项的七次积分均值估计以及带有同余条件的除数问题的余项的四次积分均值估计.对于Dirichlet除数问题余项的七次积分均值估计,通过建立对应丢番图不等式的解数估计,改进了翟文广在2004年的结果.对于带有同余条件的除数问题的余项的四次积分均值估计,利用更强的二次无理数线性组合的下界估计得到了改进.在第三章中,我们研究了混合幂类型的Waring-Goldbach问题.通过利用Hardy-Littlewood方法,再结合Iwaniec线性筛法给出了相应结果的改进.在第四章中,我们研究了稀疏素数集上的Waring-Goldbach问题,该问题的核心是指数和的估计,利用Heath-Brown恒等式,将指数和分为I型和与II型和,并对他们分别估计,得到最后需要的结论。