二十世纪七十年代,期权市场开始兴起。在经过四十余年的高速发展后,期权市场目前已经成为衍生品市场的最重要组成部分。2015年2月9日,上交所推出上证50ETF期权,我国也正式开展期权交易。我国期权市场在过去的一年发展迅猛,但由于起步较晚,期权市场规模与国际成熟市场相比还有较大差距,发展空间巨大。精确的定价是期权作为风险管理工具的基本前提,然而美式期权可提前执行的特性使得其定价模型在一般情况下并不具有解析解。正是如此,美式期权定价问题一直是金融数学领域里研究的重点和热点课题。B-S模型作为最经典的期权定价模型,有许多研究成果。其中,D.Y. Tangman提出对偏微分方程进行前向固定点变换,将未知的边界转换成了固定的边界,并使用高阶紧致格式进行离散。离散后的格式中出现了两个并不存在的点P-1j+1和p-2j+1。D.YTangman在对虚拟点进行处理时,将虚拟点处期权价格直接定义为变换后支付函数的价值,这种处理方法拉低了整个格式的精度。同时,前向固定点变换也将线性的偏微分方程变换为非线性。Bertram During 和 Michel Fournie将高阶紧致格式应用于Heston模型下的美式期权定价中。Oosterlee et al.提出在B-S模型中利用网格拉伸变换技术在敲定价格处进行局部网格加密。虽然这两种方法都取得了良好的效果,但计算精度仍不尽人意。针对以上问题,本文分别对B-S模型和Heston模型下的美式期权差分定价问题进行了三方面的改进研究。首先,针对D.Y. Tangman对虚拟点的粗糙处理方式,本文提出分别对虚拟点进行二阶精度和三阶精度有限差分逼近,明显提升了计算精度,也加快了收敛速度；同时,在进行牛顿迭代时,只对最优执行边界进行迭代,既降低了计算量,又保持了良好的计算精度。其次,针对前向固定点变换后的偏微分方程严格非线性的问题,本文提出只对偏微分方程中不包含最优执行边界的那部分进行高阶紧致离散,避免了牛顿迭代法使用,并提高了计算精度。最后,为了提高Heston定价模型的计算精度,本文提出首先对Heston模型进行网格拉伸变换,再进行高阶紧致离散。其中网格拉伸分为对标的资产价格进行网格拉伸和对标的资产、波动率两个维度同时进行网格拉伸两种方式。本方法也取得了明显的效果。期权定价方法的改进有助于企业进行更精细的风险管理,同时促进期权市场的发展并提高现货市场的流动性。这是本文的研究意义所在。