调和函数和调和映射是数学和工程中的研究热点。从理论到实际,横跨物理学、偏微分方程理论、有限元理论、数值计算、微分几何等诸多领域。由于算法简单、计算高效,调和函数和调和映射在工程领域被广泛应用。论文基于经典数学理论中的一些结论研究离散情形下调和函数和调和映射的计算问题,并运用计算结果处理相关的工程问题。本文研究了以下三个问题:1、近年来,计算共形映射被广泛应用于几何模拟、计算机图形学、计算机视觉等多个工程领域。基于调和映射的算法简单,文中第一部分的工作是提出用调和映射逼近带边界曲面间的共形映射。调和映射定义为梯度平方模积分或者能量密度积分的临界点,黎曼曲面上的调和能量沿梯度的反方向递减并且收敛到共形映射。曲面间的调和微分同胚与唯一一个Beltrami微分对应,因此一个调和微分同胚系列对应于一个Beltrami微分系列。曲面边界被映射到平面上一个单位圆周时,Beltrami微分系列以常共形模改变。本文用有常共形模的Beltrami微分系列研究了曲面间的共形映射,这相当于一个固定边界对应下递减的调和能量系列;在此基础上提出了相应的数值计算方法,并进一步分析讨论了计算方法的收敛性,最后通过数值实验验证了理论的结论。2、一对一性是计算机图形学参数化和形状比较等工作中对所使用方法的基本要求,但工程上对具有复杂拓扑结构的封闭图形间离散调和映射的一对一性研究尚不完善。论文的第二个工作是在双曲几何下运用平面三角网到平面的分段线性映射讨论双曲凸组合映射,即每个内点的像都是其邻近点像的测地质心,这可看成是封闭的高亏格曲面间双曲调和微分同胚的离散情形。凸组合映射比调和映射更丰富,所有一对一的分段线性映射都是凸组合映射。对于离散三角网情形下的微分同胚,则需要离散双曲调和映射在每个三角形上是一对一的分段线形映射,且不改变任意三角形的定向。封闭的高亏格离散曲面运用Ricci流的方法可以嵌入到双曲平面圆盘中,本文进行了万有覆盖空间上离散调和映射的一对一性研究,并通过万有覆盖空间上的一对一性说明了封闭的高亏格离散曲面间双曲调和映射的一对一性。3、用接触几何体表示图的结构一直是图论和几何学领域的一个研究热点,最典型的例子就是平面图的圆周接触表示,这时每个平面图用内部交集为空集的接触圆周表示,其中图的每个顶点被一个圆周取代,边的连接关系则由两个接触的圆周来反映。图的这种几何表示联系了图的组合结构和几何结构,因此图的其他接触几何体表示也颇受关注,数学上应用图的正方形接触表示研究组合黎曼映射定理。然而,关于计算图的正方形接触表示的工作不多,并且现有的计算方法实施困难。论文的第三个工作是基于组合Hodge理论给出了一种计算图的正方形接触表示的方法;同时文中详细介绍了相关的理论基础和算法过程,并将这种线性方法应用于嵌入到高亏格曲面上图的正方形接触表示。