【摘 要】
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传染病模型一直是计算数学与应用数学研究领域重要的研究对象之一,特别是在当今疫情大流行的背景下,传染病模型的数学理论相关研究显得尤为重要.首先本文主要考虑了两类修正SIR（易感-感染-移除）模型的数值计算格式和参数反演算法.第一类修正SIR模型为SIRD（易感-感染-移除-死亡）模型,修正之处为在传统SIR模型的基础上考虑了死亡人数的变化规律,得到的SIRD模型为四变量耦合的微分方程组模型.对于该修
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传染病模型一直是计算数学与应用数学研究领域重要的研究对象之一,特别是在当今疫情大流行的背景下,传染病模型的数学理论相关研究显得尤为重要.首先本文主要考虑了两类修正SIR（易感-感染-移除）模型的数值计算格式和参数反演算法.第一类修正SIR模型为SIRD（易感-感染-移除-死亡）模型,修正之处为在传统SIR模型的基础上考虑了死亡人数的变化规律,得到的SIRD模型为四变量耦合的微分方程组模型.对于该修正模型,理论上给出了该模型在时间截面观察数据下模型三个参数同时反演问题,即传染率、治愈率及死亡率的存在唯一性的理论,数值上并借助神经网络,设计了模型三个参数同时反演的数值算法,并通过数值算例验证了反演算法的有效性.其次本文考虑了第二类修正的SIR模型为与空间变量相关的SIR传染病模型,该修正模型是基于实际应用的考虑,即在实际应用时,考虑每个地方在不同时刻感染某传染病的“程度”或“浓度”不一样,故文中假设某地方感染某传染病的“浓度”为与时间和空间相关的函数,为了计算的简单,文中空间变量只考虑二维情形.针对该修正的SIR传染病模型,首先从数值上给出了与空间变量相关的SIR模型三种有限元格式的数值分析,包括有限元格式的稳定性、收敛性分析,还包括有限元离散方程组解的存在性、有界性分析.然后基于实际应用的考虑,通过非局部的观测数据设计了模型中传染系数的最佳摄动量反演算法,并通过两个算例验证了反演算法的可行性.
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