图的谱理论是代数图论和组合矩阵论中一个十分重要的研究领域,图的谱极值问题作为图谱理论近年来研究的主要方向和热点之一,在计算机科学、化学、生物学、物理学等领域有着极其重要的广泛应用,其核心内容是研究图的相关矩阵的最大特征值和取得相关矩阵最大特征值时对应的极图。换句话说,图的谱极值问题就是:在给定的图类G中,确定其特征值的极值并刻画其所对应的极图。给定一个图G,我们记:·Gn信表示所有n阶图的集合;·Gnl表示所有n阶点连通度为k的图的集合;·Gk表示所有n阶边连通度为k的图的集合;·Gn,k表示所有n阶含kk个割点的连通图的集合;·Gn,k表示所有n阶含kk条割边的连通图的集合;·K(p,g)表示Kp外一点与Kp相连q条边的图,其中p≥g;·K(p,g,r)表示Kp上悬挂g条悬挂边且最大度为r的图。图的α-矩阵定义为:Aα=αD(G)+(1-α)A(G),0≤α≤1。图的α-谱半径为该图对应的α-矩阵的最大特征值。本文围绕图的α-谱极值问题进行研究,分别刻画给定边割集、点割集、割边、割点的图中α-谱半径达到最大的极图并给出它们α-谱半径的上界,同时给出一个泛圈图的边条件并给出它α-谱半径的界:1.Kn是Gn中唯一具有最大α-谱半径的图且G=K(n-1,0)是Gn0或Gn0中唯一具有最大α-谱半径的图。2.对于每个kk=1,2,…,n-2,G＝K(n-1,k)是Gnk中唯一具有最大α-谱半径的图且(?)3.对于每个kk=1,2,…,n-2,G=K(n-1,k)是Gnk中唯一具有最大α-谱半径的图且(?)4.对于每个kk=1,2,…,[n/2],G=K(n-k,k,n-k)是Gn,k中唯一具有最大α-谱半径的图且(?)5.对于每个kk=1,2,…,n-1,G＝K(n-k,k,n-1)是Gn,k中唯一具有最大α-谱半径的图且(?)6.对于n≥5,δ≥2的连通图G,如果m≥(n-2/2)+4,则G是一个泛圈图,除非G ∈NP1={K1,2 V 4K1,K2 V(Kn-4+2K1),K2 V(K1+K1,3),K3 V(K1+K1,4),K3 ∨(K2+3K1),K3 ∨(K2+K1,3),K3 ∨4K1,K4 ∨ 5K1,K5∨6K1,(K2 V 2K1)V 5K1。7.对于n>5,m≥(n-2/2)+4,δ≥ 2的连通图G,有(?)。