在组合数学史上，有一段丰富的研究历史是关于超图的图拉格朗日及其应用的。1941年，Turán回答了下面的问题:一个有n个顶点的图，它不包含阶为t(t给定）的完全子图的最大边数是多少？这就是著名的Turán定理。1965年，Motzkin和Straus在一个图的图拉格朗日和其最大团的阶之间建立了一个显著的联系。它也提供了一个新的证明Turán定理的方法。这个新的证明方法激起了对r一致超图的图拉格朗日的研究兴趣。　　在很多应用中，需要用到超图的图拉格朗日的一个上限。在估计一些超图的Turán密度的过程中，Frankl和Füredi提出了下面的问题:给定r≥3，m∈N，一个有m条边的r图的图拉格朗日最大能有多大？他们猜想在所有的有m条边的r图中，Cr，m（由N的r子集的集合的colex序中的前m个集合所形成的m条边的r图）有最大的图拉格朗日，也就是说，r-致超图G的图拉格朗日小于等于Cr,m的图拉格朗日。本文证明了Frankl和Füredi的猜想在某些条件下成立。　　Moztkin和Straus的结果暗含着以上猜想对于r=2是对的。对于r≥3，这个猜想非常具有挑战性。Talbot首先在某些情况下证实了这个猜想。随后，Peng，Zhao，Tang等在更多的情况下证实了这个猜想。　　Motzkin和Straus的结果不能直接推广到r一致超图，所以Peng和Zhao试图探索当边数在一定范围内，一个超图的图拉格朗日和超图的最大团数之间的关系，并提出了与之相关的两个猜想。这两个猜想细化了当边数在这个范围内的Frankl-Füredi猜想。他们还证明了猜想中的一个关于3一致超图的，即当边数在某个范围内时，3一致超图的图拉格朗日是它的最大团的图拉格朗日。本文证明了当边数在那个范围内时，如果一个3一致超图不包含这样的阶的一个团，那么在某些条件下，这个3一致超图的图拉格朗日严格地小于这样的阶的一个完全3一致超图的图拉格朗日。这也为以上猜测提供了一些依据。　　基于已有的结果，本文继续对3一致超图G的图拉格朗日与C3，m的图拉格朗日之间的关系进行研究。由于直接得出它们之间的联系比较困难，所以附加了一些条件，如在满足G的边与C3,m的边的对称差的个数小于等于某个具体数值的情况下，或者在满足边数等于某个与t有关的式子的情况下，来探讨它们之间的联系。在满足左压缩的前提下，灵活替换，证明出了3一致超图的图拉格朗日小于等于C3,m的图拉格朗日，改进了研究结果。　　接着研究了在一些条件下，3一致超图的图拉格朗日和最大团之间的关系。本文是在m在某个范围内，G不包含t-1阶团，且同时包含顶点t-1和t的边数不大于某个具体数值的情况下研究的。通过运用迭代法和替换法，得出了G的图拉格朗日严格地小于t-1阶的完全3图的图拉格朗日。　　本文继续探索了3一致超图的图拉格朗日和最大团之间的关系。在研究的过程中加入了一些条件，如从t-1阶的团中移去了指定的p条边，t大于等于一个p的多项式，获得了G的图拉格朗日严格地小于t-1阶的完全3图的图拉格朗日。这里由于p的任意性，所以结论有较好的一般性，以及较广的覆盖面。　　基于已有的研究成果，只要证明了左压缩3一致超图，也就证明了3一致超图。这大大降低了计算复杂度。在此基础上，令G是在顶点集[t]上有m条边的一个左压缩3图，如果从t-1阶的团中移去p条边，t大于等于p的一个一次多项式，那么G的图拉格朗日严格地小于t-1阶的完全3图的图拉格朗日。这在计算复杂度和一般性上改进了以往的研究结果，并且部分地验证了Peng-Zhao提出的猜想。　　总之，通过对具体情况的研究，起初的目的是证明Frankl-Füredi猜想。但是目前的方法有一定的局限性。由于有很多种情况，每种情况的替换方法又不一样，所以总结出来比较困难。然而，如果可以克服一些困难，那么本文的方法可能得到推广，Frankl-Füredi猜想也许能够得到证明。本文为Frankl-Füredi猜想提供了更多的依据。