【摘 要】
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本文是一篇关于Polya计数定理（简记为PET）的综述论文.全文由两部分组成.第一部分是关于PET的数学理论,它包括第二、三两章.在第二章里,我们首先给出了置换群G的循环指标多项式
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本文是一篇关于Polya计数定理（简记为PET）的综述论文.全文由两部分组成.第一部分是关于PET的数学理论,它包括第二、三两章.在第二章里,我们首先给出了置换群G的循环指标多项式的定义,并具体结合G分别是循环群、对称群、交错群、正二面体群和空间旋转群时的具体的循环指标多项式计算.紧接着,利用不动点、轨道和稳定子群等概念,给出Burnside引理.作者对Burnside引理的证明完全建立在所谓的“特征矩阵法”在第二章的后半部分,我们提出了PET的三要素：集合与映射、等价与不动点、循环指标多项式.在此观点下,我们重点总结了一些具有代表性的数学模式下的每个要素的计算.当然也包括如何用Burnside引理证明PET.第三章里作者总结了现有的PET的推广形式,即在有限群的幂群、直和、笛卡尔积、圈积下的PET的对应形式.本文的第二部分内容是关于PET的应用.第四章中作者总结了PET在组合数学、物理与化学中的应用.这些颇具代表性的应用主要包括自补型映射、单射等价类计数以及各种条件的整数分拆的计数；开关电路设计的计数问题；两种同分异构体的计数问题,即烷基CnH2n+1X和烷烃CnH2n+2的计数.本文最后一章详细总结了PET在图的计数方面的应用.主要考虑无标号图和无标号树的计数问题.在各类无标号无根树的计数问题中主要是借助图的相异特性定理,通过有根树的计数级数去求无根树的计数级数.对每种情况都给出了对应的置换群,以及相应的循环指标计数多项式的表达式.
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