Conley指标由Charles C.Conley在处理天体力学中的微分方程时首先提出。它是定义在任意孤立不变集上的同伦不变量,是Morse指标的推广。Conley指标既可证明不变集的存在性,又包含稳定性,同时还具有对微小扰动保持不变的连续不变性。基于Morse分解的Conley指标可以刻划不变集的诸多复杂动力学行为。这些良好的性质使Conley指标从诞生之日起就得到了充分的重视和广泛的应用。目前在动力系统的各领域几乎都已建立了Conley指标理论,惟独没有间断动力系统的Conley指标。本文解决了这一难题,给出了某一类间断动力系统(有限分片连续映射)的Conley指标。此外,我们还研究了离散Conley指标与分支点的关系,以及用Conley指标对Ikeda映射的混沌性作计算机严格辅助证明。具体来说,论文首先将流上的素孤立不变集推广到离散系统的情形,证明了素孤立不变集的不交性;给出了利用Conley指标判断离散动力系统分支点存在的充分条件。我们还首次从范畴角度研究了动力系统族范畴中,怎样的态射有相同分支点的问题,得到了两族系统在某一条件下有一致C-分支点的充分条件。这一条件比两族系统完全拓扑共轭弱,因此是有理论意义的,可以使我们从相对较简单的或已知分支点状况的系统来推知未知系统的分支点。接着,我们把编码映射的图的概念从分片等距映射扩展至一般的有限分片连续映射,并以此为工具定义出了有限分片连续映射的Conley指标。详细论述了不连续性对定义指标的困难,并设计了一系列的方法加以解决。最终得到的指标仍然有Wazewski性质,虽弱于局部紧空间的连续映射的Conley指标,但比非局部紧空间上的连续映射的Conley指标要强,因此是有意义的.我们所给的指标是连续映射指标的真推广,可以用来证明不变集的存在性。最后,我们用区间算法、Conley指标和计算同调等工具,研究了在某一参数下的Ikeda映射的混沌性。用计算机严格辅助的方法,证明了给定参数下的Ikeda映射含有极小周期分别为2和3的周期点。利用连接此2,3周期点的轨道,构造了相应的指标偶,并最终证明了Ikeda映射在某一不变集上的限制与一有限型子移位拓扑半共轭。这一有限型子移位有正的拓扑熵,因此原系统混沌。