【摘 要】
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本文中考虑的图都是简单图.分别用V（G）,E（G）,|G|,Δ（G）,δ（G）表示图G的点集合,边集合,点的个数,最大度,最小度,用dG（x）表示点x的度.设G是一个图,G的一个k着色σ就是从V（G）到{1,2,…,k}的一个映射.我们用υa（G）表示图G的点荫度,它是图G的最小顶点划分数使得每一个划分集的导出子图是一个森林.设G（V,E,F）是一个3-连通平面图.f0表示G的无限外部面,E（f0
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本文中考虑的图都是简单图.分别用V（G）,E（G）,|G|,Δ（G）,δ（G）表示图G的点集合,边集合,点的个数,最大度,最小度,用dG（x）表示点x的度.设G是一个图,G的一个k着色σ就是从V（G）到{1,2,…,k}的一个映射.我们用υa（G）表示图G的点荫度,它是图G的最小顶点划分数使得每一个划分集的导出子图是一个森林.设G（V,E,F）是一个3-连通平面图.f0表示G的无限外部面,E（f0）为与外部面f0相关联的边集合.如果G/E（f0）为一棵树,则称G为Halin图.同时我们称与f0不关联的点为内点.本文中研究的Halin图是指内点度至少为3的Halin图.任意两点u,υ∈υ（G）,它们之间的距离为连接这两个点的最短路的长度,用dG（υ,υ）表示.图G的平方图G2是以V（G）作为它的点集,两个点u,υ在G2中相邻当且仅当1≤dG（υ,υ）≤2.本文介绍了一些荫度的定义及主要结论,并研究了Halin图的平方图的点荫度.在第一章,我们给出了本文的背景知识、所用到的基本概念以及主要结果.在第二章,介绍了一些荫度的定义及主要结论,其中包括与点相关的荫度：点荫度、点线性荫度、点星荫度；以及与边相关的荫度：边荫度、线性荫度、毛毛虫荫度、星荫度、T—free荫度、Sn—free荫度、Pn—free荫度、K1,n—free荫度.在该章还给出了荫度方面的一些结果.在第三章,对Halin图的平方图的点荫度进行了研究.在荫度的研究领域,绝大部分的研究集中在平面图,而对于非平面图的荫度的研究目前较少.一般来说,Halin图的平方图是非平面图.杨爱峰等人在文献[33]中证明了直径为2的图的导出森林2划分问题是NP-完全问题,故图的点荫度的计算问题也是NP-完全问题.山东大学的马刚、吴建良、方俊峰在文献[38]中证明了树的平方图的点荫度是（?）.本章在树的平方图的点荫度的基础上研究了Halin图的平方图的点荫度,得到了以下两个结果：定理3.2.5.最大度小于6的Halin图G的平方图G2的点荫度满足2≤υa（G2）≤4.定理3.2.7.内点度均大于等于6的Halin图的平方图的点荫度是（?）.
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