【摘 要】
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生成等谱和非等谱可积方程族是孤立子与可积系统领域的一个重要研究课题,通过对已导出的方程族做约化,就能得到许多著名的方程和新的方程.在本文中,我们提出了一种生成非等谱可积方程族的方法,并将其应用于一些等谱和非等谱问题,导出了一些等谱和非等谱方程族.然后,我们还考虑了扩展等谱和非等谱方程族的几种生成方法,包括通过列向量圈代数导出扩展的等谱-非等谱可积方程族、通过构造非半单李代数用于生成高维的等谱和非等
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生成等谱和非等谱可积方程族是孤立子与可积系统领域的一个重要研究课题,通过对已导出的方程族做约化,就能得到许多著名的方程和新的方程.在本文中,我们提出了一种生成非等谱可积方程族的方法,并将其应用于一些等谱和非等谱问题,导出了一些等谱和非等谱方程族.然后,我们还考虑了扩展等谱和非等谱方程族的几种生成方法,包括通过列向量圈代数导出扩展的等谱-非等谱可积方程族、通过构造非半单李代数用于生成高维的等谱和非等谱可积耦合方程族、通过构造一种新型的N维李代数来导出多分量的非等谱族.一系列的结果表明,本文提出的关于生成非等谱孤子族及其扩展可积族的方法是行之有效的.再者,通过改进Tu格式,我们得到了这些方程族及其扩展方程族的双哈密顿结构.此外,我们也研究了扩展可积方程族及其约化方程的一些性质,包括对称性和守恒律、（?）-穿衣法求解、Riemann-Hilbert方法求解等.本文的主要贡献如下:第一,有许多不同的方法用于生成等谱可积方程族.然而,据我们所知,关于如何生成非等谱可积方程族,目前的研究成果很少.本文考虑了在λt=（?）kj（t）λ-j的情况下,应用改进的屠格式生成孤子方程的非等谱可积族.通过将该方法应用于一些等谱和非等谱问题,我们导出了一些新的等谱和非等谱可积方程族,能够约化出一些有物理背景的方程,包括NLS方程、KdV方程、MKdV方程等.通过使用改进的迹恒等式构造了已导出方程族的双哈密顿结构.同时,讨论了已得到的方程族和方程的一些性质,包括对称性、守恒律、孤子解、规范变换等.第二,本文考虑了一种生成扩展等谱-非等谱可积方程族的方法.基于该方法,我们通过考虑一个线性谱问题,推导出一个非等谱孤子方程族.然后,基于6维复线性空间C6导出了相应的扩展等谱-非等谱可积族.通过对这些可积方程族做约化,我们得到了几个扩展的等谱和非等谱的导数非线性薛定谔（DNLS）方程,这几个方程可约化为经典的和耦合的DNLS方程.此外,我们还讨论了这些扩展方程族的对称和守恒量.第三,本文构造了一个二维的非半单李代数g,并将其应用于一些等谱和非等谱问题,由此导出了一些二维等谱和非等谱可积耦合族.紧接着,我们构造了一个N维非半单李代数g.基于这个非半单李代数,我们提出了一种方法来生成ZNε等谱和非等谱的可积耦合族.同样地,我们还考虑了几个应用,导出了几个N维等谱和非等光谱的可积耦合方程族.我们发现构造的非半单李代数g和g是一种可用于生成可积耦合族的强有力的工具.再者,基于我们构造的Z2ε-迹恒等式和ZNε迹恒等式,导出了这些等谱和非等谱可积耦合族的双哈密顿结构.第四,本文构造了一类用于生成孤子方程多分量可积族的新的N维李代数,并将其应用于几个非等谱问题,由此导出了几个高阶的非等谱KdV族.通过对这些孤子族做约化,我们得到了著名的KdV方程及其扩展的方程.此外,我们也探究了耦合非等谱KdV族的K对称、τ对称及其李代数.第五,对于一些有物理背景的可积耦合系统,我们应用（?）-穿衣法来考虑这些系统的解.通过求解引入的耦合（?）-问题,得到了这些可积耦合系统的一些精确解,包括带函数参数的解、线孤子解、有理解.我们也考虑了 Riemann-Hilbert方法在耦合方程中的应用,并且得到了扩展耦合非线性薛定谔方程的N孤子解.本文介绍的（?）-穿衣法和Riemann-Hilbert方法可能对处理类似问题和相应的可积耦合系统有很好的启发作用.
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