傅立叶变换和Hilbert变换在信号分析中发挥着重要的作用：傅立叶变换在经典信号处理的频谱分析中处于无可置疑的主导地位，它是研究平稳信号的理想工具，是最早研究频率的信号分析理论，也是目前发展最为成熟的信号分析理论，并在众多领域中产生了巨大而深远的影响；瞬时频率是信号处理中的一个非常重要的概念，是刻画非平稳信号时变频谱特征的一个基本物理量，早在上世纪四十年代，Gabor就采用Hilbert变换研究非平稳信号的瞬时频率，通过解析信号的相位求导，可以得到信号的瞬时频率，通过对信号的瞬时频率信息的表示，Hilbert变换为非线性信号分析提供了一个坚实的理论基础，随着科学的发展，Hilbert变换在非平稳信号处理中发挥着越来越重要的作用。因而对这些变换进行必要的研究，具有非常重要的意义。 1998年美国工程院院士Huang及其合作者首次提出了一种适合于处理非线性非平稳信号的新的时频分析方法-Hilbert-Huang变换，该方法的核心理论是经验模式分解(Empirical ModeDecomposition,EMD)算法。通过这种方法，任何复杂信号都可以分解为有限的且具有一定物理意义的本征模态函数(Intrinsic ModeFunction，IMF)分量，再对各分量进行Hilbert变换以得到各自的瞬时频率和瞬时振幅，最终把信号表示为时频平面上的能量分布，称为Hilbert谱。这个非线性非平稳信号处理方法掀起了人们对Hilbert变换和傅立叶变换在信号分析中的新的研究。 由于傅立叶变换和Hilbert变换在信号分析中发挥着重要的作用，因而把傅立叶变换和Hilbert变换的定义推广到包含常见信号的分布空间是很有意义的，这样我们就可以在更广泛的意义下对信号进行分析。 在计算信号的瞬时频率时，一个过大的误差可能导致对信号完全不同的物理定性。要想得到比较精确的瞬时频率，就必须得到信号的较准确的Hilbert变换值，而在实际问题中，我们很难解析的求得一个信号的Hilbert变换，因而只能通过数值近似计算来对Hilbert进行计算，于是寻找有效而快速地计算Hilbert变换的方法，这在工程和应用领域内具有非常重要的意义。 本文的主要工作表现在以下的几个方面： 1.对离散傅立叶变换计算连续傅立叶变换的关系以及离散傅立叶变换计算Hilbert变换的关系进行了分析和探讨，并在一定条件下给出了离散傅立叶变换计算连续傅立叶变换和Hilbert变换的误差分析，因而从数学的角度上对工程上用快速傅立叶变换和软件Matlab中库函数“hilbert“计算Hilbert变换在什么情况下比较精确有一个比较深刻的理解。 2.把傅立叶变换和Hilbert变换的定义推广到了分布空间中。对傅立叶变换，构造了一个分布空间DF，并刻画了这个空间的一些性质。在此基础上，把经典的Fourier变换的定义推广到了分布空间Dg中，我们称这推广的Fourier变换为广义Fourier变换。同时我们也证明了广义Fourier变换是分布空间Dg到其自身的同肧映射，而且分布空间Dg是满足这个条件的Schwartz分布空间D的最大的嵌入子空间。相对应地，对于Hilbert变换，同样构造了一个新的空间DH，并对该空间的性质进行了刻划，并且把经典的Hilbert变换的定义推广到了这个空间的分布空间DH上。证明了广义Hilbert变换是把空间DH映射到其自身的同胚映射，且验证了空间DH是满足上述条件的包含在D中的最大的子空间。Lp中函数的经典Hilbert变换和周期函数的周期Hilbert变换是广义Hilbert变换中的特殊的情况。上面构造的两个分布空间都包含了工程上常见的信号，因而我们可以在更广的意义下对信号进行分析。 3.提出了Hilbert变换数值计算的新的方法。利用Haar函数多分辨率逼近，构造了一种新的计算Hilbert变换的计算方法-Haar函数多分辨率逼近算法。对该算法进行了误差分析，并用此算法与Matlab库函数“hilbert”对一些实验函数的Hilbert变换进行近似计算，并把得到的数据结果分别与实验函数的真实Hilbert变换进行了比较。同时就本文提出的方法与G．．Beylkin等提出的Hilbert变换的Haar小波算法进行了讨论与分析。最后用本文提出的方法与已经存在的三种估计信号瞬时频率的方法：Hilbert变换方法、Haar小波方法、广义函数束方法对信号的瞬时相位进行近似计算，并对由这四种方法得到的数值结果进行比较和讨论。