在有限群的自同构群的研究中,值得一提的是悬而未决的著名的LA-猜想：设G是阶大于p2的有限非循环p-群,则必有群G的阶整除其自同构群的阶.对于这个猜想的研究到目前已有半个多世纪,但还未得到彻底解决.在自同构群的研究中,自同构群的阶不但对理论物理,量子力学,量子化学,结晶学,密码学等方面的应用能提供一定的理论依据,而且对LA-猜想的完全解决也具有一定的价值,所以随着单群分类的完成,计算自同构群的阶是研究有限群自同构群的基本任务之一本文首先介绍了有关自同构群的阶及LA-猜想的研究背景与现状.其次统一地给出了所有阶小于等于p5的有限p-群的自同构群的阶及p6阶第二十一家族到第四十家族所有群的自同构群的阶,并对很多以前求出的低阶p-群的自同构群的阶的错误做了纠正.最后对中心循环且中心商的阶是p6的有限p-群的存在性问题做了研究,为进一步判断这样的LA-群是否存在做好铺垫.本文要点有以下两点(1)利用群论的方法给出有限域中二元二次方程的求根公式,利用此公式在相关数论知识的基础上结合矩阵方程的方法统一地给出所有阶小于等于p5的有限p-群的自同构群的阶及p6阶第二十一家族到第四十家族所有群的自同构群的阶,并纠正很多以前求出的低阶p-群的自同构群的阶的错误.(2)给出并证明若干有限p-群,这些有限p-群要么是新的LA-群,要么是LA-猜想的反例,这对我们完全解决中心商的阶为p6的LA-猜想具有实际意义.