在解析数论中,尖形式的傅立叶系数是非常有趣并且重要的算术函数,它的各方面都被广泛深入地研究.一个开放的问题是Ramanujan-Petersson猜想,这个猜想是说任意一个尖形式的第n个傅立叶系数的上界都不会超过nε对于任意小的ε>0都成立.对于SL2(Z)上的全纯尖形式,Deligne在1974年发表的论文[6]中,作为Weil猜想的一个推论已经把这个猜想证明了.对于其他情况,这个问题仍旧是开放的.幸运的是,在很多的实际应用中,我们可以用均值估计来替代单独的傅立叶系数的估计.在本文中,我们将研究如下的指数和的估计其中,e(z)=e2πiz,F(n)是一个关于n的实值函数,a(n)是正规化后的尖形式的傅立叶系数.在第一章中,我们将研究SL2(Z)上的全纯尖形式的正规化傅立叶系数的振荡.设K是一个偶数.我们用Sk(SL2(Z))表示SL2(Z)上权为k的全纯尖形式空间.对于任意的f∈Sk(SL2(Z)),f都有如下的傅立叶展开式这里(?)z>0.我们假设f是一个正规化的Hecke尖形式使得a(1)=1并且正规化后的傅立叶系数与Hecke特征值是一致的.这样正规化以后,a(n)都是实数并且它们满足一定的可乘性质.在历史上, a(n)的大小和振荡引起了人们的特别兴趣.Deligne的估计是说a(n)《nε对于任意小的ε>0都成立.随着n的增大,傅立叶系数a(n)的符号不断的变化,这一点可以从下面的估计中看出来：对于任意小的ε>0都成立,这里隐含的常数只依赖于f和ε；请参考Good的文章[12].最近,Pitt[32]研究了a(n)在二次指数和中的振荡情况.他证明了对于任意的α,β∈R,对于任意小的ε>0都成立,这里隐含的常数只依赖于f和ε.借鉴Pitt[32]的方法,我们来研究如下的指数和：这里α,β∈R,0<θ≤1／2.在第一章中,我们将建立S(X,α,β,θ)的上界估计,这个估计关于参数β是一致的.定理1.1.设f是一个全纯Hecke尖形式,a(n)表示它的第n个正规化以后的傅立叶系数.对于任意的α,β∈R,0<θ<1／2或者α,β∈R,|a|≤2,θ=1／2,我们有S(x,α,β,θ)《X1-(θ／2)+ε,对于任意小的ε>0都成立,这里隐含的常数只依赖于α,θ,f和ε.关于β的一致性使得我们可以从定理1.1中得到一些有趣的结论.最近,Blomer [2]和Lu[28]研究了a(n)在算术数列中的振荡情况.根据Lu[28]的讨论(或者参考Iwaniec[15],123页),我们得到如下的关于a(n)限制在算术数列中的结果.定理1.2.设f是一个全纯Hecke尖形式, a(n)表示它的第n个正规化以后的傅立叶系数.设1≤q≤X.对于任意的α,β∈R,0<θ<1／2或者α,β∈R,|α|≤2,θ=1／2,我们有对于任意小的ε>0都成立,这里隐含的常数只依赖于α,θ,f和ε.用同样的方法,我们也可以从Pitt的结果推出当限制在算术数列中时,a(n)在二次指数和中的振荡情况.定理1.3.设f是一个全纯Hecke尖形式,a(n)表示它的第n个正规化以后的傅立叶系数.设1≤q≤X.对于任意的α,β∈R,我们有对于任意小的ε>0都成立,这里隐含的常数只依赖于f和ε.注意到如果α=0,那么我们在第一章中研究的指数和就变成了下面的形式：这里a(m)一个尖形式正规化以后的傅立叶系数.求S(X,V)关于参数V的一致估计这个问题并不陌生,很多人深入地研究过它.特别当a(m)是上半平面上的尖形式的傅立叶系数的时候,关于这个问题已经有许多深刻的结果.一般情况下,对于GLn,n≥2上的尖形式,我们想得到这样的关于V一致的上界估计：S(X,V)《Xθ+ε,对于任意小的ε>0和1／2<θ<1都成立.然而,这方面的结果还很少.像S(X,V)这样的加权和与解析数论中的许多重要问题都有联系.最近,Lao[27]发现了这样一个有趣的应用.她证明了全纯Hecke尖形式的傅立叶系数在Beatty序列中的振荡性质可以从下面的估计中得到：S(X,V)《x1／2logX对于任意的V∈R都成立,这里隐含的常数只依赖于f；请参考Wilton[40].上述所谓的Beatty序列是如下定义的整数列这里[x]表示不超过x的最大整数.Lao证明对几乎所有的实数α>1和所有的实数β,这里a(m)是SL2(Z)上全纯Hecke尖形式f的傅立叶系数,隐含的常数仅依赖于尖形式f和α.在第二章中,借鉴Lao[27]的方法,我们研究GL。上Maass波动形式的傅立叶系数在Beatty序列中的振荡性质.用Banks, Shparlinski[1]和Lao[27]中同样的方法,我们将Lao的结果推广到GLn上的Maass波动形式.设f是SLn(z)上的类型为v的Maass波动形式,那么f有如下的Fourier-Whittaker展开：这里SLn-1=SLn-1(Z),Un-1=Un-1(Z)是(n-1)×(n-1)上三角矩阵,其中所有元素都是整数,对角线上元素都为1,M=diag(m1…mn-2|mn-1|,…,m1,1),WJ(z,v,ψ1,…,1)是Jacquet-Whittaker函数.假设A(1,…,1)=1.我们还假设f是所有Hecke算子的特征函数,从而傅立叶系数A(m1,…,mn-1)满足一些可乘性质.定义我们有如下结果.定理2.1.设α>1为类型1.设A(m1,…,mn-1)是GLn上Maass波动形式f正规化以后的傅立叶系数.假设对于任意小的ε>0和任意的V∈R都成立.对于任意的ε>0,我们有T(α,β,X)《f,α,ε,m1,…,mn-2Xθ+ε,关于β∈R一致成立.为了证明定理2.1,主要的困难在于对于GLn,n≥2上的Maass波动形式,Ramanujan猜想尚未证明.根据Rankin-Selberg理论,我们知道这些正规化后的傅立叶系数在平均意义上像常数一样,这条性质可以帮助我们克服上述困难.对于GL2上的Maass波动形式,Hafner[13]证明了S(X,V)《X1／2+ε对于任意的V∈R和任意的ε>0都成立,这里隐含的常数只依赖于尖形式f和ε.因此我们有推论2.1.设α>1为类型-1.设a(m)为GL2上Maass波动形式f的正规化后的傅立叶系数.对于任意的ε>0,我们有关于β∈R一致成立.最近,Miller[29]建立了如下的非平凡估计对于任意的ε>0和任意的V∈R都成立.从这个结果我们得到下面的推论.推论2.2.设α>1为类型1.设A(m1,m2)为GL3上Maass波动形式f的正规化后的傅立叶系数.对于任意的ε>0,我们有关于β∈R一致成立.