电子关联以及量子涨落对于低维体系的物理性质起着非常重要的作用,因而研究由电子关联导致的相变在凝聚态物理中是非常基本及重要的问题。尤其当维度不同,同样的模型的基态很可能存在本质区别。本文着重讨论了半满的ionic Hubbard模型(IHM)以及空穴参杂的扩展的t-t’ Hubbard模型(EHM)中的相图。尽管这两个模型在一维情况下已经被非常广泛的研究,然而,这些模型的在二维情况下的理论相图仅在近些年被提出,得益于一系列新近发展的数值计算方法。二维较一维而言,相图复杂程度大大增加,且不同的数值方法存在一定的局限性,因而二维体系的研究才刚刚起步,许多问题都充满争议,一些新奇的相的本质尚未明确。本文的目的就是通过比较可信的数值方法,提供我们的观点,阐明一些有待解决的问题。在这篇文章里,我们将介绍一系列处理量子多体问题的数值近似方法,特别的,我们将详细介绍变分团簇方法(variational cluster approach VCA),这一方法基于精确对角化方法(exact diagonalization ED)来得到有限电子体系的严格解,用有限体系的自能近似热力学极限下的自能,已经成功地被应用在许多二维问题中。这些方法是研究强关联量子系统的基本工具,特别是对于研究对称破缺的相。我们用这些方法计算了单电子谱函数,不同的相的序参数等等,从而研究各种相之间的竞争或者共存关系。Mott金属-绝缘体相变以及Mott绝缘体(Mott insulator MI)-band绝缘体(band insulator BI)相变近来引发了很多的关注,这些相变都可以在半满的ionic Hub-bard模型中实现,也就是在Hubbard模型的基础上增加一项相邻格点上交错的势能。尽管这个模型并不复杂,却有着非常丰富的相图。尤其是二维情况下,不同的方法得到的结论区别较大,目前,并没有比较一致的结论,这更加激发了研究兴趣。我们用变分团簇方法研究了半满的二维正方格子上ionic Hubbard模型的相图。通过引入能够引起对称破缺的Weiss场,我们发现,在这个模型中存在奇异的中间相,即存在于键上的自旋波(Bond-located Spin Density Wave BSDW), BSDW相的特征是存在于键上的反铁磁序。当格点上的库仑排斥U较弱,体系是band绝缘体,随着U的增加,体系会发生BI-BSDW相变。当U增强到第二个临界点,Mott绝缘体比BSDW的能量更低,体系的基态为Mott绝缘体Mott绝缘体伴随着长程的反铁磁序,而band绝缘体具有电荷密度的周期性调制。由于存在格点上交错的周期性势能,电荷密度波始终存在。而BSDW和反铁磁序互相竞争,并不共存。此外,我们还研究了二维阻挫Hubbard模型,也就是在Hubbard模型中考虑了最近邻电子之间的跃迁。这个模型中,半满和非半满的相图存在很大的区别。半满情况下,基态是Mott绝缘体,而当存在空穴参杂,会出现超导与反铁磁共存的相,纯超导相等。VCA方法不仅适用于研究Mott绝缘体和BSDW等自旋对称破缺的相,还被应用于研究超导(superconductivity SC),在二维扩展阻挫Hubbard模型中成功地定性重复了高温超导体的相图。我们用VCA方法研究了二维阻挫扩展Hubbard模型中的Pomeranchuk不稳定性(Pomeranchuk instability PI)和超导的竞争关系。我们发现体系有Pomeranchuk不稳定性的趋势,这种不稳定性破坏了费米面的四方对称性。然而当最近邻库仑排斥V较弱,体系基态更加青睐具有各向同性晶格的超导相。当V增加,超过临界点时,超导被抑制,发生一阶的SC-PI的相变。同时,我们还计算了局域态密度,发现当存在费米面变形时,局域态密度发生了有趣的行为。它的低能特征是尖锐的,谱权重明显地从低能峰转移到靠近费米面的极小值处,而高能特征几乎没有改变。基于这些发现,我们建立了PI与双层钌酸盐sr3Ru2O7中发现的变磁相变之间的潜在的联系,为PI可能存在于真实材料中的这一假设提供了证据。