三维流形一直以来是低维拓扑学研究的重要对象.为了更好的研究三维流形,Heegaard对闭的可定向的三维流形提出了Heegaard分解的概念Haken将Heegaard分解推广到了紧致可定向的三维流形上.曲线复形,作为研究Heegaard分解常用的工具,已被大家所熟知Masur-Minsky赋予了曲线复形一个度量,并证明了在此度量下,曲线复形是δ-双曲的.此后又有多名学者给出了此结论不同的证明.本文主要研究了利用三维欧氏空间的元素来赋予曲线复形不同度量的问题,并比较了在不同度量下曲线复形的性质,希望给出曲线复形的双曲性一个新的证明.为了研究三维流形的Heegaard分解,Hempel定义了Heegaard分解的一个重要指标—Heegaard距离.他证明了总是存在Heegaard距离任意大的Heegaard分解.此后,众多学者做了一系列关于Heegaard分解的工作.在此背景下,本文证明了对于任意给定的正整数g≥2,总是存在无穷多个不同胚的双曲三维流形,并且每个双曲三维流形上都存在亏格为g距离为2的Heegaard分解.此结论在一定意义下揭示了双曲三维流形分布的一般性.由Thurston的几何化猜想可知,三维流形中最重要的研究对象是双曲三维流形.由于任意一个紧致可定向的三维流形都有一个三角剖分,因此满足什么条件的三角剖分对应于一个双曲三维流形成为拓扑学家关心的问题.为此,Casson在边界为环面的三维流形的理想三角剖分上提出了角度结构的概念.他证明了如果一个边界为环面的三维流形具有一个满足角度结构的理想三角剖分,那么此三维流形内部具有双曲结构.另一方面,Hodgson-Rubinstein-Segerman证明了满足某些拓扑条件的与环面边界三维流形内部同胚的cusped双曲三维流形一定存在一个满足角度结构的理想三角剖分.一个自然的问题是边界为大亏格(亏格数大于或等于2)曲面的三维流形的三角剖分与双曲性是如何对应的.类似于Casson的定义,Luo在边界为大亏格(亏格数大于或等于2)曲面的三维流形的三角剖分上提出了与之相应的角度结构的概念.由Kojima关于边界为测地曲面的双曲三维流形上存在超理想多面体剖分的工作出发,本文证明了所有边界为测地曲面的紧致可定向双曲三维流形都存在一个满足角度结构的理想三角剖分.另一方面,本文也证明了如果边界为大亏格(亏格数大于或等于2)曲面的三维流形存在一个满足角度结构的理想三角剖分,那么该三维流形是双曲三维流形