随机分形，是概率论和分形理论的交叉学科。随机递归集和随机过程样本轨道的分形性质则是其两个重要的研究方向。随机递归集是一类具有特定结构的典型随机集，本文主要考虑其分形性质。随机环境中随机过程是近几十年随机过程领域中的热点研究问题，但前人大都集中于极限理论的研究，本文则以时间随机环境中随机游动为模型，重点讨论其像集的分形性质，也附带研究了它的一些渐近行为。因此，本文将沿着随机分形的这两个方向展开讨论。 关于随机递归集分形性质的研究，首先是从经典Cantor集的随机化与推广开始的，这类集合结构简单，实际应用广泛。其主要分形性质，包括维数和测度问题，已基本解决。而本文研究的是更为广泛和复杂的随机递归集。在文中给出的随机递归集的统一框架下，对其概率性质和分形性质做了基础性讨论，同时对统计自相似集、a．s．自相似集、随机次自相似集等既典型又不乏共性的随机递归集，分别做了较深入的研究，研究内容主要包括收敛性和Hausdorff维数与测度问题。在这方面，虽然本文得到了部分较完美的成果，但离基本解决尚有距离。 关于随机过程样本轨道分形性质的研究，首先是从Brown运动开始，然后是Stable过程，继而Levy过程，等等。当然所研究的过程越是一般，其结果也就越粗糙。随机环境这一术语由来已久，其相关研究更是近几十年随机过程领域中的热点课题。本文则融合了空间随机环境中随机游动和时间随机环境中马氏链两方面的内容，重点研究了随机环境中随机游动像集的分形性质，由于所考虑的集合是格子点空间Z~d中的子集，自然要引入离散分形的概念。在某些稳定性条件下，本文得出了其像集的Hausdorff维数和Packing维数结果，同时说明了它是一个分形集。作为副产品，本文还考虑了随机环境中随机游动的渐近行为。对环境作些适当的限制，可得出相关的常返暂留准则、强大数定律和中心极限定理。 本文共分为七章。 第一章是前言，主要介绍了现今随机递归集和随机环境中随机游动的研究概况，同时简要地总结了本文作者的在这两方面的研究结果。 第二章概述了拓扑空间中的测度理论和维数概念，包括一些技术性引理，是全文的基础。它以R~d中集合为例，介绍了Hausdorff测度及其维数、Packing测度及其维数的概念，并概括了它们之间的关系。除此之外，我们还在格子点空间Z~d中引进了离散分形概念，它可用以刻画可数集的大小。 第三章至第五章论述了随机递归集的概率和分形理论。作为一类特殊的集合，递归集有着许多良好的性质，特别是其分形性质，已经成为分形集合学的一个重要分支.从最简单的Cantor三分集、各类自相似集到次自相似集，都可视为递归集的特例. 第三章从广泛的角度定义了随机递归集，并研究了其收敛性和Hausdor任维数与测度.在Gra仁Mauldin&williams等人构造的随机递归集的基础上，本章首节给出随机递归集一个更简洁，更广泛的定义，它既包含了前人所研究的各种随机递归集，也为后两章将要研究的集合提供一个统一的框架.第二节主要讨论随机递归集的收敛性和可测性，这一方面保证了定义的严密性，另一方面有利于其概率性质和分形性质的后续研究.第三节通过几个经典的例子来说明第一节定义的随机递归集的可行性和实用性.最后两节则讨论了在某些限制条件下的随机递归集的分形性质，包括Hausdorff维数和确切测度函数. 第四章研究了一类典型的随机递归集，即随机自相似集(包括统计自相似集和a.s.自相似集)和随机次自相似集的概率性质与分形性质.自相似性，是分形理论中一个非常重要的基本概念，而自相似集，是分形理论中研究得较早的结果较完善的一类集合.Hu七chinson于1981年首先提出了自相似集和自相似测度的概念，同时也得到了许多有关自相似集的分形性质.随后Falconer，Graf和Mauldin&williams等人各自引入了统计自相似集和统计自相似测度的概念，在一定条件下，他们均获得了一类统计自相似集的Hausdor任维数和Hausdor任确切测度函数.在前一章给出的一般随机递归集的统一框架下，这章首节严格定义了统计自相似集，a.s.自相似集，并在第二节给出了保证随机递归集为随机自相似集的充分必要条件.同时，利用前面统计递归集的相关分形结果，在最后一节给出这两类随机自相似集的Hausdorff维数和确切测度函数. 第五章研究了随机次自相似集的概率性质与分形性质.作为分形理论中研究得较早较完善的一类集合—自相似集，许多作者对它做过各种推广.例如Falcone:于1989，1995年中引进的拟自相似集和次自相似集.从随机的观点出发，前两章已把各种随机性融人自相似性中，并且得到了较好的概率性质和分形性质.在这一章里，首次引进了随机推移集和随机次自相似集的概念，并通过随机推移集构造出一般的随机次自相似集.同时还得到了部分随机次自相似集的分形性质，主要包括Hausdor任维数和确切测度函数.最后举个例子，以对前边的结果加一个合理的解释，从而说明这里的推广是有实际意义的. 本文最后两章讨论的是随机环境中随机游动的一些基本概率性质和像集分形性质.