Klein群与双曲几何在低维拓扑,黎曼几何,动力系统等数学领域中有着重要的作用. 其中Klein群理论的发展源于十九世纪末,到二十世纪六十年代,随着拟共形理论的成熟, Klein 群理论在 L. V. Ahlfors 等数学家的贡献下已经成为复分析中一个活跃的分支. 而后, 1980年前后, Klein群和双曲几何经W. P. Thurston的研究有了革命性的发展, 这一发展使得双曲几何和 Klein 群理论在拓扑学中的作用越来越重要. 尽管复双曲几何与实双曲几何同时出现, 但是复双曲几何理论并没有像实双曲几何理论那样,得到快速的发展.直到二十世纪六十年代, S. Chen, L. Greenberg研究了对称空间和G. D. Mostow做了关于复双曲空间的非算术格的构造的工作后, 许多数学家开始进行复双曲几何的研究, 如, R. Schwartz, W. M. Goldman, J. R. Parker等. 本文主要研究双曲空间上的等距群的离散性与双曲流形的体积估计. 我们的主要工作是利用 ˆU(1, n；C)群中元素在复双曲空间HnC 边界上的不动点的个数决定元素分类的定义与矩阵的秩,讨论了 ˆU(1, n；C)群中在复双曲空间HnC边界上有公共不动点的两个元素的交换子的情形；利用将群S L(2, C )嵌入到群 ˆU (1, 1；H),得到了 S L(2, C ) 群离散的必要条件； 利用离散群、群有界和开集的关系, 通过构造一个集合的方式得到了群 PU(1,n；C) 中的三条离散准则； 对复双曲流形的Margulis 常数做了分析, 得到一类复双曲流形的体积下界, 最后讨论了实双曲 n维流形中一致双曲流形的体积下界. 全文共分为如下七章. 第一章是本文的概述. 叙述了双曲几何中离散群理论发展的历史过程, 背景以及研究现状,并介绍了本文研究的四个问题和相关结果；介绍了本文工作的主要困难和方法；并给出了文中所用到的一些常用符号 第二章介绍全文研究的环境 – 复双曲空间. 简述了复双曲空间的基本知识、复双曲空间的几个模型,给出了复双曲等距元素与复双曲空间的边界的基本定义. 在第三章中,我们利用元素在边界上不动点的个数决定元素分类的方法,讨论了 ˆU (1, n；C )群中在复双曲空间的边界上有一个公共不动点的两元素的交换子的类型. 本文第四章讨论 ˆU (1, 1；H) 等距群离散的必要条件. 我们采用将群 S L(2, C )嵌入到群 ˆU (1, 1；H) 中来讨论群离散的必要条件, 我们利用所涉及到的等距变换的相应参数建立了一个新形式的Jørgensen不等式,同时,利用这种形式的不等式,我们构造了短测地线周围的一些管状邻域, 并得到了有关这些管状邻域的一些性质. 在第五章中,我们讨论了复双曲等距群PU(1,n；C)中的离散准则.我们通过建立PU(1,n；C)中一个跟子群G有关的集合,根据这个集合元素的有限性或离散性,给出了PU(1,n；C)中子群G离散的充分必要条件. 本文的第六章分析了复双曲等距群 P U (1, 2；C ) 中的一类双曲流形的 Mar-gulis常数,而后应用这个常数估计了双曲流形体积. 本文第七章利用Martin, C. Cao关于负曲率流形上Jørgensen不等式的推广,讨论了实双曲空间中的双曲流形的体积下界.