对数凹(对数凸)性质是由凹凸性和对数运算衍生出的一个重要概念,凹凸性在很多领域的广泛应用促使很多学者研究对数凹(凸)性质.对于非负函数还可以定义强对数凹;对于非负序列,还可以定义ULC(n)和ULC(oo).几个与对数凹性质关系紧密的概念有单峰性和TP2性质.对数凹分布类因其广泛性和优良的性质在很多领域都有重要应用.本文主要研究了两部分内容,第一部分是关于对数凹(凸)性质的研究,包括对数凹和对数凸关于算子的保持性、对数凹对卷积运算保持封闭性的应用以及两参数复合泊松分布的对数凹性质.第二部分探讨条件熵在对数凹条件下的单调性表现以及在变差距离约束下对偶熵-Extropy的上下界问题.第一章是基本知识,首先介绍对数凹性质,熵和Extropy的研究历史和成果.主要列出本文研究内容需要用到的基本定义和性质,后面章节的有些结论是基于这些性质建立起来的.其次讨论对数凹在熵的理论研究中的应用以及熵与Extropy的联系与区别.在第二章,我们研究对数凹和对数凸性质在算子下的封闭性.对于一般形式的算子Φ→T(Φ,θ)=E[Φ(Xθ)],θ∈(?),我们推导出其关于对数凹和对数凸的保持性,这里要求Xθ服从的分布族具有半群性质以及Xθ关于θ具有某种随机序性质.一些常用的算子可以看作具有此一般形式的算子的特例,主要结论可用于推导Bernstein型算子和Beta型算子关于对数凹和对数凸的保持性以及更新过程的相关结论.第三章主要是围绕对数凹关于卷积的封闭性得到的一系列结果.具体的说是对每一个分布F,依据卷积运算和对数凹性质定义一个集合(?)F.对于不同的分布类,可以得到不同的集合,进而建立了这些集合之间的包含关系与参数大小的一一对应.关于常用的离散分布类和连续分布类得到了相应的结果.在第四章,基于对数凹性质与TP2的关系,有一系列多参数分布族关于各个参数是否具有对数凹性质的结论.利用对数凹性质与TP2和再生性的相关结论,我们得到双参数复合泊松分布Q(x|θ,v)关于参数x,θ和v的对数凹性质和TP2性质.第五章研究对数凹与熵的结合.考虑一个随机变量X在条件X ∈(a,b)下的熵H(X|X∈(a,b))关于a,b的单调性,当X具有对数凹的概率密度函数或概率质量函数时,可推出H(X|X ∈(a,b))关于a单调递减,关于b单调递增.相关文献中一些错误的结果也在本章中被纠正.第六章主要考虑Shannon熵的对偶补充概念Extropy的上下界问题.类似于Shannon熵的上下界问题,推导出Extropy在变差距离约束条件下的上下界以及Extropy的导数的界并得到达到上下界的分布表达式.利用随机序中占优序的优良性质,给出几个结论的简化证明.将上下界的结论应用于统计方面,得到Extropy的置信区间.