【摘 要】
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本文共分四节.第一节为本文的引言.主要介绍了数学家们对椭圆方程解的凸水平集曲率的研究成果.这些成果首先是从研究极小环的边界闭凸曲线发展起来的.而后,又发展到了Green函数的凸水平集,此后,这一结论从三维被发展到高维的P-调和函数,相关方程从线性拓展到半线性,证明方法不断的推陈出新,研究角度也从定性演变到定量.近年来,随着研究的深入,这一领域的研究成果日益丰富了第二节为二维椭圆方程解的水平线曲率的
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本文共分四节.第一节为本文的引言.主要介绍了数学家们对椭圆方程解的凸水平集曲率的研究成果.这些成果首先是从研究极小环的边界闭凸曲线发展起来的.而后,又发展到了Green函数的凸水平集,此后,这一结论从三维被发展到高维的P-调和函数,相关方程从线性拓展到半线性,证明方法不断的推陈出新,研究角度也从定性演变到定量.近年来,随着研究的深入,这一领域的研究成果日益丰富了第二节为二维椭圆方程解的水平线曲率的凸性估计.在这一节,我们首先证明了函数φ=logK(x)满足椭圆不等式其中▽φ的系数是局部有界的,然后利用极小值原理得到了本文第一个主要结论.第三节我们将方程拓展到了三维空间里,通过介绍经典曲面局部理论的相关基础内容,对称曲率矩阵及其特征值,水平集的两种基本形式和外法向量,以及几个重要的命题和引理,为三维空间定理的证明做了必要准备.第四节为本文主要定理的证明.完成本篇文章的关键之处在于运用了先验估计的思想.我们证明了以下定理:设Ω为R3中的有界光滑区域,u∈C4(Ω)∩C2(Ω),且u是椭圆方程在Ω中的一个解.假设对x∈Ω,有|▽u|≠0,而且u的水平集关于外法向▽u是严格凸的.令K是u的水平集的高斯曲率,则函数K(x)在(?)Ω上取得极小值.
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