现代学科中的许多研究课题都可以通过求解非线性方程的初值问题来解决。因此，求解非线性方程的初值问题是许多专家与学者所关注的热点问题，具有很重要的现实意义。在解决非线性方程的初值问题的发展过程中，许多数值解法被广大学者所提出，如Runge-Kutta方法、线性多步法、变分迭代法、牛顿法、欧拉法、同伦摄动法等。何吉欢提出的同伦摄动法是结合传统的摄动理论和同伦技术的方法，克服了原有的传统摄动理论的不足，将许多复杂的非线性问题转化为更容易求解的线性问题，使问题得到解决。该方法所求得的级数解能够快速收敛到真解，且取级数解的有限项就能快速地逼近方程的真解。基于上述优点，该方法被广大学者应用到各领域中。再生核方法是一种利用初始条件构造线性算子，通过求解简单的线性算子方程而求得原来复杂的非线性方程的一项分析技术。但是同伦摄动法也有许多不足之处：（1）对于一些强非线性问题，该方法只在局部收敛；（2）由于算子是否为压缩算子难以验证，所以对于该方法的收敛性问题没有严格的证明。基于以上两点，本文采用改进的同伦摄动法：对方程进行分段求解。克服了传统的同伦摄动法的不足，同时本文还给出了严格的收敛性证明。本文主要研究应用改进的同伦摄动法求解非线性Volterra积分—微分方程初值问题，同时结合再生核方法求解非线性二阶常微分方程初值问题。并且对改进的同伦摄动法的收敛性给出严格的证明。每章中数值算例部分的数值结果，充分说明改进的同伦摄动法在求解非线性问题时很有效。