磁共振成像是一种对人体结构功能可视化的无创无辐射成像技术,具有成像参数多、对比度高以及多方位成像等特点,在重大疾病的诊断方面发挥了重要的作用。然而,与其他成像模态相比,磁共振成像较为缓慢的采集速度(或者较长的扫描时间)制约了其在临床上的广泛应用。主要原因是：在长时间的扫描过程中,被扫描者不经意的移动会产生运动伪影,导致图像模糊失真从而造成重要诊断信息的遗失。因此,快速成像方法的研究是磁共振成像中的热点研究领域,具有重大的理论研究和临床应用价值。传统的加速方法,如：基于高速扫描序列方法以及基于多通道线圈的并行采集方法,由于物理、生理或者硬件条件约束,依靠梯度场切换率和硬件性能的提高来加快成像速度的能力基本己达到了极限。考虑到采样样本的数量与扫描时间的正比关系,通过减少采集的数据量来加快磁共振成像速度已经成为快速磁共振成像领域的研究热点。磁共振图像重建是将磁共振数字信号转化为图像的过程,是磁共振成像的主要步骤。重建可被描述为一种数学反演问题,通过数学手段对该问题建立模型以及设计优化算法,可达到提高系统成像速度的目的。一般,基于部分数据的磁共振图像重建属于不适定的反问题,直接重建虽可加速成像但图像质量达不到诊断要求。压缩感知理论的出现有效地解决了这一问题,并为快速成像方法的研究提供了崭新的框架。基于压缩感知的磁共振成像方法表明,将蕴藏于图像内的稀疏性作为先验知识融入于前面的欠定问题,即可利用较少的信号数据重建满足诊断要求的图像。本文的研究内容也均建立于压缩感知重建方法的框架下。本文基于投影算子以及邻近点方法提出一种解全变分和小波正则化重建模型的快速算法。提出的算法通过更换分裂Bregman算法迭代顺序,结合投影算子与收缩算子的关系以及半隐式迭代策略,获得了比分裂Bregman算法更为紧凑的迭代格式。这种迭代格式避免了解拉普拉斯型偏微分方程,具有较小的计算复杂度,有效地加速了全变分与小波正则化重建模型的计算速度。考虑到基于全变分与小波正则化重建模型对分片光滑的图像具有较好的重建效果,而对非分片光滑图像重建效果不佳。本文提出了一种二阶全变分与小波重建模型,有效地解决了这一问题。此外,由于提出的新模型对应的欧拉方程为高阶偏微分方程,涉及到复杂的数值计算。本文结合两次变量分离技术以及交替方向乘子法,将原高阶问题转化为几个低阶问题逐个求解,降低了原问题的计算难度,提高了重建计算速度。针对于计算量繁重的稀疏并行成像问题,本文基于向前向后算子技术提出一种解该问题的快速重建算法。该算法由于不涉及原问题对应的复杂偏微分方程计算,因此,其快速计算有效性不依赖于稀疏算子与编码算子的特殊性质(能被快速傅里叶变换对角化)。在对大规模多通道磁共振信号数据的重建实验中,该算法的有效性更为显著。此外,本文从理论上分析了提出算法的收敛性。