多维广义立方双色散方程的Cauchy问题

来源 :郑州大学 | 被引量 : 0次 | 上传用户:pearljeejee
下载到本地 , 更方便阅读
声明 : 本文档内容版权归属内容提供方 , 如果您对本文有版权争议 , 可与客服联系进行内容授权或下架
论文部分内容阅读
本文证明下列多维广义立方双色散方程的Cauchy问题   vtt-△v-α△vtt-b△2v-d△vt=△f(v),x∈Rn,t>0,(1)   v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x),x∈Rn(2)存在唯一的整体解,其中v(x,t)是未知函数,a,b>0,d≠0是常数,△是n维Laplace算子,△2是n维双调和算子,下标t表示对t求偏导数,f(s)是给定的非线性函数,v0(z)和v1(x)是已知的初值函数.用凸性方法讨论在一定条件下多维广义立方双色散方程Cauchy问题(1),(2)解的爆破.   为了讨论方便,作展缩变换v(x,t)=u(y,τ)=u(1/√a,√b/at),方程(1)就变成   vtt-△u-△utt-△2u-d/√b△ut=a/b△[f(u)+(1-b/a)u].不失一般性,我们研究下列Cauchy问题   utt-△u-△utt+△2u-α△ut=△g(u),x∈Rn,t>0,(3)   u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈ Rn.(4)   主要结果如下:   定理1.设当n=1,2,3时,s≥2和当n≥4时,s>n/2;u0∈Hs(Rn),u1∈Hs-1(Rn)且g∈C[s]+1(R)和g(0)=0,那么Cauchy问题(3),(4)有唯一解u∈C([0,T0);H8(Rn))∩ C1([0,T0);Hs-1(Rn))∩ C2([0,T0);Hs-2(Rn)),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间.更进一步,如果   lim sup[‖u(·,t)‖H·(Rn)+‖ut(·,t)‖Hs-1(Rn)]<∞,(5)   tτT0那么T0=∞.   下面我们证明Cauchy问题(3),(4)解的延拓条件(5)转化为证明下列条件(6),即证明   定理2.设当n=1,2,3时,s≥2和当n≥4时,s>n/2,u0∈Hs(Rn),u1∈Hs-1(Rn)且g∈C[s]+1(R)和g(0)=0.则Cauchy问题(3),(4)存在唯一的局部广义解u∈C([0,T0);Hs(Rn))∩ C1([0,T0);Hs-1(Rn))∩ C2([0,T0);Hs-2(Rn)),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间.同时,当   lim sup‖u(·,t)‖∞<∞(6)   tτT0时,那么T0=∞.   引理1.设u0∈H8(Rn),ui∈H8-1(Rn)(n=1,2,3,s≥2和n≥4,s≥3/2+n/2),A-1 u1∈L2(Rn),g∈C[s]+1(R),g(0)=0,和G0(u0)∈L1(Rn).   (1)若()y∈R,G0(y)≥0,则Cauchy问题(1.9),(1.10)的解有估计   ‖(Λ-1ut(·,t)‖2+‖u(·,t)‖2+‖ut(·,t)‖2+‖▽u(·,t)‖2   ≤E(O)e2|a|T,()∈[0,T](T4+n/2(n=1,2),则Cauchy问题(3),(4)的整体广义解是整体古典解u∈C([0,∞);C4B(Rn))∩ C1([0,∞);C3B(Rn))∩ C2([0,∞);C2B(Rn)),n=1,2.   定理5.设α>0,g(y)∈C(R),u0∈H1(Rn),u1∈L2(Rn),Λ-1u1∈L2(Rn),G0(u)=∫u0 g(u)dy和G0(u0)∈L1(Rn)且存在常数β>0,ε>0,使得   2yg(y)≤2(4β+2+εα)G0(y)+(4β+εα-ε-1α)y2,()y∈R.(7)那么如果满足下列条件之一时,   (1)E(0)<0,   (2)E(0)=0,(Λ-1u0,Λ-1u1)+(u0,u1)>0,   (3)E(0)>0,(Λ-1u0,Λ-1u1)+(u0,u1)>/4β+2+εα/4β+2E(0)[‖A-1u0‖2+‖u0‖2],Cauchy问题(3),(4)的广义解或古典解爆破,其中E(0)=‖Λ-1u1‖2+‖u0‖2+‖u1‖2+‖▽u0‖2+2∫Rn G0(u0)dx.   定理6.设α>0,g(y)∈C(R),u0∈H1(Rn),u1∈L2(Rn),Λ-1u1∈L2(Rn),G0(u)=∫u0 g(T)dT和G0(u0)∈L1(Rn)且存在常数β>0,ε>0使得4βε<α,和   2yg(y)≤(4β+2+εα)G0(y),()y∈R.(8)那么Cauchy问题(3),(4)的广义解或古典解满足下列条件之一时爆破:   (1)E(0)≤0,   (2)E(0)>0,(Λ-1u0,Λ-1u1)+(u0,u1)>、√α-4βε/4βε[‖Λ-1u0‖2+‖u0‖2].
其他文献
期刊
党支部作为党在社会基层中的战斗堡垒,有八项基本任务。 一、宣传和执行党的路线、方针、政策,宣传和执行党中央、上级组织和本组织的决议,充分发挥党员的先锋模范作用,团结
利用构造复合Lyapunov函数的方法,可以得到不受可能出现的滑动模影响的稳定性条件.本文首先基于复合Lyapunov函数方法讨论了一类线性切换控制系统的镇定问题,得到闭环稳定的
本文从高中数学解题中数形结合的作用入手,通过实际案例简要介绍笔者在高中数学学习中应用数形结合的主要思路和方法,对(学生)理解数学知识、掌握数学原理具有积极影响,从而
初中生物教学教会学生对书本概念进行理解和运用非常重要,考试题目都是围绕概念的考察展开的,遗传变异方面的考题也不例外。本文分析了初中生物《遗传与变异》一章的教学目标,并
在地球物理领域中,流体的运动一般由微分方程所描述。一方面,受到观测器误差以及天气条件等因素的影响,对微分方程初值与边值的观测通常是不准确的。另一方面,对于具有不同物
期刊
地震全波形反演是地震勘探中需要解决的一个重要问题,近年来受到广泛的关注和青睐。一个有效的全波形反演方法对于发现地下资源,缓解能源危机大有裨益,具有很高的实用价值和
本文共分三章.第一章为引言,给出了本文要研究的方程模型的来历,一些已有的结果和要用到的记号.   在第二章中,我们研究如下n维非线性广义波方程组的Cauchy问题   utt(
学位
This paper investigates the H_∞ synchronization of the coronary artery system with input delay and disturbance.We focus on reducing the conservatism of existin