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本文证明下列多维广义立方双色散方程的Cauchy问题
vtt-△v-α△vtt-b△2v-d△vt=△f(v),x∈Rn,t>0,(1)
v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x),x∈Rn(2)存在唯一的整体解,其中v(x,t)是未知函数,a,b>0,d≠0是常数,△是n维Laplace算子,△2是n维双调和算子,下标t表示对t求偏导数,f(s)是给定的非线性函数,v0(z)和v1(x)是已知的初值函数.用凸性方法讨论在一定条件下多维广义立方双色散方程Cauchy问题(1),(2)解的爆破.
为了讨论方便,作展缩变换v(x,t)=u(y,τ)=u(1/√a,√b/at),方程(1)就变成
vtt-△u-△utt-△2u-d/√b△ut=a/b△[f(u)+(1-b/a)u].不失一般性,我们研究下列Cauchy问题
utt-△u-△utt+△2u-α△ut=△g(u),x∈Rn,t>0,(3)
u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈ Rn.(4)
主要结果如下:
定理1.设当n=1,2,3时,s≥2和当n≥4时,s>n/2；u0∈Hs(Rn),u1∈Hs-1(Rn)且g∈C[s]+1(R)和g(0)=0,那么Cauchy问题(3),(4)有唯一解u∈C([0,T0)；H8(Rn))∩ C1([0,T0)；Hs-1(Rn))∩ C2([0,T0)；Hs-2(Rn)),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间.更进一步,如果
lim sup[‖u(·,t)‖H·(Rn)+‖ut(·,t)‖Hs-1(Rn)]<∞,(5)
tτT0那么T0=∞.
下面我们证明Cauchy问题(3),(4)解的延拓条件(5)转化为证明下列条件(6),即证明
定理2.设当n=1,2,3时,s≥2和当n≥4时,s>n/2,u0∈Hs(Rn),u1∈Hs-1(Rn)且g∈C[s]+1(R)和g(0)=0.则Cauchy问题(3),(4)存在唯一的局部广义解u∈C([0,T0)；Hs(Rn))∩ C1([0,T0)；Hs-1(Rn))∩ C2([0,T0)；Hs-2(Rn)),其中[0,T0)是解存在的最大时间区间.同时,当
lim sup‖u(·,t)‖∞<∞(6)
tτT0时,那么T0=∞.
引理1.设u0∈H8(Rn),ui∈H8-1(Rn)(n=1,2,3,s≥2和n≥4,s≥3/2+n/2),A-1 u1∈L2(Rn),g∈C[s]+1(R),g(0)=0,和G0(u0)∈L1(Rn).
(1)若()y∈R,G0(y)≥0,则Cauchy问题(1.9),(1.10)的解有估计
‖(Λ-1ut(·,t)‖2+‖u(·,t)‖2+‖ut(·,t)‖2+‖▽u(·,t)‖2
≤E(O)e2｜a｜T,()∈[0,T](T4+n/2(n=1,2),则Cauchy问题(3),(4)的整体广义解是整体古典解u∈C([0,∞)；C4B(Rn))∩ C1([0,∞)；C3B(Rn))∩ C2([0,∞)；C2B(Rn)),n=1,2.
定理5.设α>0,g(y)∈C(R),u0∈H1(Rn),u1∈L2(Rn),Λ-1u1∈L2(Rn),G0(u)=∫u0 g(u)dy和G0(u0)∈L1(Rn)且存在常数β>0,ε>0,使得
2yg(y)≤2(4β+2+εα)G0(y)+(4β+εα-ε-1α)y2,()y∈R.(7)那么如果满足下列条件之一时,
(1)E(0)<0,
(2)E(0)=0,(Λ-1u0,Λ-1u1)+(u0,u1)>0,
(3)E(0)>0,(Λ-1u0,Λ-1u1)+(u0,u1)>/4β+2+εα/4β+2E(0)[‖A-1u0‖2+‖u0‖2],Cauchy问题(3),(4)的广义解或古典解爆破,其中E(0)=‖Λ-1u1‖2+‖u0‖2+‖u1‖2+‖▽u0‖2+2∫Rn G0(u0)dx.
定理6.设α>0,g(y)∈C(R),u0∈H1(Rn),u1∈L2(Rn),Λ-1u1∈L2(Rn),G0(u)=∫u0 g(T)dT和G0(u0)∈L1(Rn)且存在常数β>0,ε>0使得4βε<α,和
2yg(y)≤(4β+2+εα)G0(y),()y∈R.(8)那么Cauchy问题(3),(4)的广义解或古典解满足下列条件之一时爆破:
(1)E(0)≤0,
(2)E(0)>0,(Λ-1u0,Λ-1u1)+(u0,u1)>、√α-4βε/4βε[‖Λ-1u0‖2+‖u0‖2].