【摘 要】
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高阶结构理论是当前数学和物理学中的热点课题之一,它在理论研究和实际应用中都有着非常重要的意义。有许多学者针对2?-分次线性代数、n-辛流形等问题展开了研究,并且取得了
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高阶结构理论是当前数学和物理学中的热点课题之一,它在理论研究和实际应用中都有着非常重要的意义。有许多学者针对2?-分次线性代数、n-辛流形等问题展开了研究,并且取得了丰富成果。然而很少有人研究3?-分次结构和n-辛流形上的向量场问题。因此为完善线性代数和辛几何理论,本文主要针对3?-分次结构和n-辛流形上的向量场问题进行了研究。主要内容如下:第一章是绪论部分,主要介绍了高阶结构理论的研究背影及历史进程,并分析和总结了关于线性代数和辛几何方面国内外学者的研究结果。第二章是预备知识,分别介绍了2?-分次向量空间的定义与性质,以及辛流形上的向量场及其性质,从而为后续章节的理论研究和实际应用奠定了一个良好的基础。第三章利用G-分次结构理论,讨论了具有3?-分次结构的线性代数问题。首先得到了3?-分次向量空间、3?-分次代数、3?-分次李代数和3?-分次子空间的基本概念。其次给出一种由已知的3?-分次代数构造左对称的3?-分次代数的方法,同时提出两种构造3?-分次李代数的方法。最后给出3?-分次子空间的两个基本性质,并利用3?-分次李代数之间的同态与同构映射,得到了关于3?-分次李代数的同态与同构定理。第四章基于辛流形上的辛结构,提出了具有n-辛结构的辛几何问题。讨论了n-辛流形上的向量场,并结合李导数的性质,给出判定向量场为n-辛向量场的两个充分必要条件,得到了两个n-哈米顿向量场在括号积下仍为n-哈米顿向量场的结论。最后通过定义线性映射,得到了相应的短正合序列。第五章是对全文的总结,并提出了今后需要进一步研究的问题。
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