【摘 要】
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我们都知道,如果M是一个非奇异方阵,那么存在一个矩阵G,使得MG=GM=I,G被称为矩阵M的逆矩阵,记作M-1。如果矩阵M是一个奇异矩阵或者是长方阵,逆矩阵G就不存在了。E.H.Moore和R.Penrose
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我们都知道,如果M是一个非奇异方阵,那么存在一个矩阵G,使得MG=GM=I,G被称为矩阵M的逆矩阵,记作M-1。如果矩阵M是一个奇异矩阵或者是长方阵,逆矩阵G就不存在了。E.H.Moore和R.Penrose扩展了逆矩阵的符号,并提出了广义逆矩阵的概念。一个矩阵有多种形式的广义逆,在所有的Moore-Penrose广义逆里面,除了M?外,其余均不唯一。另外,几种重要的广义逆,包括M-P逆M?,加权M-P逆MX,Y?,群逆Mg和Drain逆Md分别是某种具有相应的指定值域和零空间的M的{2}逆MT,S2,他们在线性方程组、微分方程、差分方程、最优控制等方面有着广泛的应用.本文研究各种广义逆的表达式,为了使问题简化,我们把矩阵M进行分块,通过研究它的子块来研究M的广义逆。对于任意矩阵M∈Crm×n,通过行置换和列置换,可以将其中的r阶非奇异阵移到左上角,即存在置换矩阵P和Q,使得由于上式右端具有特殊的形式,能够得到任意矩阵M的各种广义逆的表达式。也可以只通过行置换或者列置换,得到M=P(?)或M=(A B)Q的形式,这里的A分别是秩为r的行满秩阵和列满秩阵,从而可以得到与四分块相应的结果。本文的第一章介绍了后面几章用到的一些符号和几种广义逆的定义。在第二章和第三章,通过置换分别将M分成四块和两块,讨论了M-P逆、MT,S2和它几种特殊形式的广义逆的表达式,并给出了几个数值例子来验证前面的定理。通过例子可以看到,我们的结果是有效的。
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