本文从分形的基本理论谈起，对Julia集理论及其应用作了相关探讨，主要内容介绍如下： (1) Newton变换的Julia集是分形学中一个十分诱人的问题，对Newton变换的Julia集的吸引域及其内部结构的研究，有助于理解迭代法求根逐次逼近的本质。本文构造了Newton变换、Halley方法以及Schroder方法的分形图，理论研究了Julia集的结构特征，给出了标准Newton变换、Halley变换以及Schroder变换的不动点的性质与条件，并观察了多项式的根和对应Julia集结构之间的关系。即若保持多项式的根的相对位置不变，则其对应Julia集的拓扑结构保持不变；若存在额外不动点，则其额外不动点亦保持不变。否则，Julia集的结构和额外不动点都将发生改变。 (2) 将分形的思想引入到一类指数方程的研究中，研究指数方程解与Julia集理论的关系。将Kim的复指数函数推广为更一般形式，阐述了一般指数方程所对应牛顿变换的Julia集的理论，分析了一类复指数方程解的特性，理论证明了Julia集的对称性、有界性以及吸引域的嵌套拓扑分布结构。 (3) 3x+1问题最早由Collatz在一次国际数学大会上提出，50多年来，国际数学界对3x+1问题进行了深入研究并提出了多种猜想。本文将3x+1函数推广到复平面，得到两种不同的复映射形式。利用逃逸时间、停止时间和总停止时间算法，构造了这两种复映射的分形图，并基于分形图的结构特征分析了广义3x+1函数的动力学特性。由这三种算法所构造的分形图显示了3x+1函数在复平面上具有精细的分形结构特征，通过对分形图的比较，说明了3x+1函数有稳定的收敛性。