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本文主要讨论了古田不等式的推广以及与古田不等式相关的应用．古田不等式是以1934年L(o)wner提出的著名的以后称之为L(o)wner-Heinz不等式为理论基础，由日本著名数学家古田1987年发表的已引起广泛关注的算子不等式。
本文第一章主要介绍了古田不等式的研究背景、历史现状，然后具体介绍了古田不等式及古田不等式在其他方面的应用，提出了算子平均理论的若干结论。
本文第二章主要讨论了算子单调函数。首先介绍了算子单调函数的定义，接着介绍运用直接方法证明了一些算子单调函数，然后经构造好的二组分式形式的算子函数序列，证明了这两组算子函数在混沌序下的算子单调性，在此基础上更深一步的研究了一个函数族在混沌序下的算子单调性及相关结论。
本文第三章将主要介绍古田不等式的相关问题，一开始先介绍了古田不等式的几何结构。接着讨论了在A2≥(AB4A)(?)序下的一些算子广义幂平均函数单调性，最后讨论了C*代数上的古田不等式的一系列问题。
第四章对本文做了总结并对古田不等式的相关问题做了前景的展望。